Question

3．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某个星球表面．宇航员手持小球从高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出，测的小球运动的水平距离为L．已知该行星的半径为R，万有引力常量为G．
求：（1）行星表面的重力加速度；
（2）行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做平抛运动，其加速度等于该星球表面的重力加速度g，根据平抛运动的规律列式求g．
（2）根据物体的重力等于万有引力，列式求该星球的质量，即可求解密度．

解答 解：（1）小球平抛运动的水平位移x=L．
则平抛运动的时间t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$．
根据h=$\frac{1}{2}$gt²得，星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$．
（2）根据G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg得，
星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
则星球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{2G{L}^{2}πR}$．
答：（1）行星表面的重力加速度$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）行星的平均密度$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{2G{L}^{2}πR}$．

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．