Question

8．如图所示是真空中内径为R、外径为2R的空心玻璃柱体的横截面，空心部分为真空，一束在横截面内的单色平行光射向柱体外表面，其折射光线恰好未射入柱体空心部分，已知玻璃对该单色光的折射率为n=$\sqrt{3}$，求：
（1）单色光射向柱体外表面的入射角；
（2）光在玻璃中传播的时间（已知真空中光速为c，不考虑多次反射）．

Answer 1

分析 （1）由题意画出光路图，折射光线恰好未射入柱体空心部分，恰好发生了全反射，入射角等于临界角C．光线进入柱体外表面时由折射定律列式．由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和几何关系确定折射角，则可求得折射角．
（2）由几何关系求出光在玻璃中传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃中传播的速度，从而求得光在玻璃中传播的时间．

解答 解：由题意画出光路图如图．
光线进入柱体外表面时，由折射定律，有：n=$\frac{sini}{sinr}$
其折射光线恰好未射入柱体空心部分，恰好发生了全反射，入射角等于临界角C．则有：sinC=$\frac{1}{n}$
由正弦定理可得：$\frac{R}{sinr}$=$\frac{2R}{sin（180°-C）}$
联立解得：sini=0.5，i=30°
即单色光射向柱体外表面的入射角为30°．
（2）设光在玻璃中传播的距离为S．由正弦定理有：$\frac{0.5S}{sin（C-r）}$=$\frac{2R}{sin（180°-C）}$     
结合n=$\frac{sini}{sinr}$得 sinr=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，则有：cosr=$\sqrt{1-si{n}^{2}r}$=$\sqrt{\frac{11}{12}}$
sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$
联立解得 S=$\frac{2（\sqrt{33}-\sqrt{6}）R}{3}$
光在玻璃中传播的速度为 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
所以光在玻璃中传播的时间为 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{2（\sqrt{11}-\sqrt{2}）R}{c}$
答：（1）单色光射向柱体外表面的入射角是30°；
（2）光在玻璃中传播的时间是$\frac{2（\sqrt{11}-\sqrt{2}）R}{c}$．

点评 本题是折射定律的应用，关键是画出光路图，运用几何知识研究角度关系，同时要掌握全反射的条件．