Question

19．如图所示边长为L的正方形abcd内有垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一束速率不同的带正电粒子从左边界ad中点P垂直射入磁场，速度方向与ad边夹角θ=30°，已知粒子质量为m、电荷量为q，粒子间的相互作用和粒子重力不计．则（　　）

• A． 粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{5πm}{3qB}$
• B． 粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{πm}{3qB}$
• C． 上边界ab上有粒子到达的区域长为（1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）L
• D． 下边界cd上有粒子到达的位置离c点的最短距离为$\frac{{（2-\sqrt{3}）L}}{2}$

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，不同的速度对应不同的轨道半径，画出不同的轨迹，考虑临界情况轨迹，结合牛顿第二定律列式分析．

解答 解：A、粒子对应的圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，最长时间对应的轨迹如图所示：

从pa边射出对应的轨迹的圆心角最大，为300°，故最长时间为：t=$\frac{300°}{360°}T=\frac{5}{6}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$，故A正确；
B、考虑极限法，假设粒子速度无限大，则沿着直线穿过磁场，时间无穷小，故粒子在磁场中运动的最短时间趋向零，故B错误；
C、画出临界轨迹，如图所示：

从ab边射出的最大的轨迹是与bc边相切，故：r₁+r₁sin60°=L，故r₁=$\frac{L}{1+sin60°}$=$\frac{2L}{2+\sqrt{3}}$，
从ab边射出的最小的轨迹是与ad边相切，故：r₂+r₂cos60°=$\frac{L}{2}$，故r₂=$\frac{\frac{L}{2}}{1+cos60°}=\frac{L}{3}$，
故上边界ab上有粒子到达的区域长为：2r₁sin60°-r₂sin60°=（$\frac{23}{6}\sqrt{3}$-6）L，故C错误；
D、临界情况是轨迹与cd变相切，故：r₃-r₃cos60°=$\frac{L}{2}$，解得r₃=L，

故下边界cd上有粒子到达的位置离c点的最短距离为L-r₃sin60°=$\frac{（2-\sqrt{3}）L}{2}$，故D正确；
故选：AD

点评 本题考查粒子在有边界磁场中运动的问题，关键是采用图示法画出临界轨迹进行分析，作图是关键，不难．