Question

1．在xOy平面第Ⅰ象限中，存在沿x轴负方向的匀强电场，场强为E₁=$\frac{3πBl}{2{t}_{0}}$，第Ⅱ象限中存在沿x轴正方向的匀强电场，场强为E₂=$\frac{πBl}{2{t}_{0}}$，在第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的匀强磁场，方向如图所示．磁感应强度B₁=B，B₂=2B．带电粒子a、b同时从y轴上的点M（0，-$\sqrt{3}$l）以不同的速率向相反方向射出，射出时粒子a的速度方向与y轴正方向成60°角，经过时间t₀，粒子a、b同时第一次垂直x轴进入电场，不计粒子重力和两粒子间相互作用．求：
（1）粒子a的比荷及射出磁场时的位置；
（2）粒子a、b射出磁场时速度的大小；
（3）进入电场后，粒子a、b先后第一次到达y轴上的P、Q两点（图中未画出），求P、Q两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，求出半径和周期，根据时间与周期的关系，求解比荷．由几何知识得到射出磁场时的位置；
（2）两个粒子在磁场中运动的半径相等，由弧长与半径的关系求解粒子的速度．
（3）粒子进入电场后做类平抛运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．

解答 解：（1）画出粒子a在磁场中的运动轨迹，由几何知识可得a、b的轨迹半径相等，均为 r=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l
对于a粒子，由 t₀=$\frac{60°}{360°}$T_a．
又 T_a=$\frac{2π{m}_{a}}{q{B}_{a}}$
得 $\frac{{q}_{a}}{{m}_{a}}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，
粒子射出磁场时离O点的距离为 x=r-rcos60°=l
位置坐标为（l，0）
（2）对于a粒子，由v_at₀=r•$\frac{π}{3}$，可得v_a=$\frac{2πl}{3{t}_{0}}$
对于b粒子，由v_bt₀=r•$\frac{2π}{3}$，可得v_b=$\frac{4πl}{3{t}_{0}}$
（3）进入电场后两个粒子都做匀速直线运动．
对于a粒子有：x轴方向的分位移为 x_a=r-rcos60°=l
且有x_a=$\frac{1}{2}{a}_{a}{t}_{a}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{{q}_{a}{E}_{1}}{{m}_{a}}{t}_{a}^{2}$
y轴方向的分位移为  y_a=v_at_a；
又 E₁=$\frac{3πBl}{2{t}_{0}}$，$\frac{{q}_{a}}{{m}_{a}}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，v_a=$\frac{2πl}{3{t}_{0}}$
联立解得 y_a=$\frac{4}{3}$l
对于b粒子有：t₀=$\frac{1}{3}$T_b=$\frac{1}{3}•\frac{2π{m}_{b}}{{q}_{b}•2B}$
可得$\frac{{q}_{b}}{{m}_{b}}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$
在电场中b粒子也做类平抛运动，同理可得，b粒子通过电场时y轴方向的分位移为  y_b=8l
故P、Q两点间的距离 S=y_b-y_a=$\frac{20}{3}$l
答：
（1）粒子a的比荷为$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，射出磁场时的位置坐标为（l，0）．
（2）粒子a、b射出磁场时速度的大小分别为$\frac{2πl}{3{t}_{0}}$和$\frac{4πl}{3{t}_{0}}$．
（3）P、Q两点间的距离为$\frac{20}{3}$l．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，一直是高考的热点和难点．解题的关键是画出轨迹，根据牛顿第二定律求半径，确定轨迹的圆心角，计算时间与周期的关系．根据类平抛运动规律求在电场中的位移．