Question

10．设地球半径为R₀，地球表面重力加速度为g₀，地球自转周期为T₀，自转角速度为ω₀，地球质量为M，地球的第一宇宙速度为v₀，同步卫星离地面高度为h，万有引力常量为G，请推导证明同步卫星的线速度v₁的大小表达式，写出一个得4分，至少写出二个．

Answer 1

分析 同步卫星的轨道半径为r=R+h，其运动周期等于地球自转的周期，根据线速度与周期的关系可得出线速度的表达式．根据万有引力提供向心力，运用比例法也能得到线速度与R、h的关系式．

解答 解：同步卫星的轨道半径为r=R₀+h，其运动周期等于地球自转的周期T₀，则线速度为：
v₁=$\frac{2πr}{{T}_{0}}$=$\frac{2π（{R}_{0}+h）}{{T}_{0}}$．
根据牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R+h}$
得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}+h}}$…①
又g₀=$\frac{GM}{{{R}_{0}}^{2}}$…②
联立得到：v₁=${R}_{0}\sqrt{\frac{{g}_{0}}{{R}_{0}+h}}$．
答：同步卫星的线速度的表达式为v₁=$\frac{2π（{R}_{0}+h）}{{T}_{0}}$或v₁=${R}_{0}\sqrt{\frac{{g}_{0}}{{R}_{0}+h}}$．

点评 对于卫星问题，关键要建立物理模型，运用万有引力和向心力知识、加上数学变形求解．