Question

2．海王星是太阳系行星中离地球最远的行星，若已知海王星半径是地球半径的4倍，质量是地球质量的16倍，到太阳的距离是日地间距离的25倍．地球半径为R₁，其表面重力加速度是g，引力常量为G．求：
（1）海王星的第一宇宙速度；
（2）海王星的密度．

Answer 1

分析 （1）分别由万有引力提供向心力求地球和海王星的第一宇宙速度，再由物体的重力等于万有引力，联立解得海王星的第一宇宙速度；
（2）由在地球表面上物体的重力等于万有引力列式，根据海王星半径是地球半径的4倍，质量是地球质量的16倍，由密度公式可求．

解答 解：（1）设地球的第一宇宙速度为v₁，设地球的质量为M，则由牛顿第二定律可得：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
设海王星的第一宇宙速度为v₂，设海王星的质量为M′，G$\frac{{M}^{′}m}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
在地球表面上，物体的重力等于万有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=mg
又因为海王星半径是地球半径的4倍，质量是地球质量的16倍，
联立解得：v₂=2$\sqrt{g{R}_{1}}$
（2）在地球表面上，物体的重力等于万有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=mg
解得地球质量为：M=$\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}$
又因为海王星半径是地球半径的4倍，质量是地球质量的16倍，
所以：ρ=$\frac{{M}^{′}}{V}$=$\frac{16×\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π（4{R}_{1}）^{3}}$=$\frac{3g}{16Gπ{R}_{1}}$
答：（1）海王星的第一宇宙速度为2$\sqrt{g{R}_{1}}$；
（2）海王星的密度为$\frac{3g}{16Gπ{R}_{1}}$．

点评 利用万有引力定律解答天体运动的问题注意：
两条思路：①在星球表面上，物体的重力等于万有引力；②万有引力提供向心力；
一个黄金代换：GM=gR²；
本题中海王星到太阳的距离是日地间距离的25倍，这一条件是多余的．