Question

10．一个质量为m，带电量为q（负电）的小球（可看成质点）从坐标原点O以沿x轴负方向的速度v₀开始运动，在第一象限存在水平向右的匀强电场，场强大小E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$．第二象限存在竖直向下的匀强电场，大小E₂=$\frac{mg}{q}$，和垂直纸面向里的长方形有界磁场，磁感应强度为B（图中未画出），坐标原点O在磁场中，小球通过y轴上的M点进入第一象限恰好做减速直线运动（重力加速度g，电场区域足够大）．O、M两点距离为L．
求：
（1）v₀=？
（2）长方形区域磁场的最小面积，
（3）小球从坐标原点出发到速度减到零所需时间．

Answer 1

分析 （1）由运动轨迹确定圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力确定速度．
（2）由圆的轨迹图确定临界值，确定面积．
（3）分过程求解出每段的时间，再求时间之和．

解答 解：（1）设在M点速度与y轴夹角为α
在第一象限做直线运动，有tanα=$\frac{q{E}_{1}}{mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
在第二象限，mg=qE₂，小球在磁场中做匀速圆周运动
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
几何关系可知，L=3r
由以上得：
${v}_{0}=\frac{qBL}{3m}$
（2）如图所示长方形区域磁场面积最小，即长方形的长和宽均与圆相切
S=r（r+$\frac{1}{2}r）$=$\frac{{L}^{2}}{6}$

（3）在第二象限
磁场中：${t}_{1}=\frac{120°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$
出磁场后：${t}_{2}=\frac{\sqrt{3}r}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
在第一象限
$\frac{mg}{cos30°}=ma$得 a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}g$
${t}_{3}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$  
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πm}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}+\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$
答：（1）v₀为$\frac{qBL}{3m}$
（2）长方形区域磁场的最小面积为$\frac{{L}^{2}}{6}$，
（3）小球从坐标原点出发到速度减到零所需时间$\frac{2πm}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}+\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$

点评 对于带电粒子在复合场中运动的类型，根据小球的运动情况，分析其受力情况是解决本题的关键，考查综合运用牛顿第二定律和运动学公式处理复杂运动的能力