题目内容
7．如图所示，斜面AB和水平面BC相交于B点，CED是竖直放置的半径为R=0.1m的光滑半圆轨道，CD与BC相切于C点，E点与圆心O点等高．质量为m的小球从斜面上离水平面h高处由静止释放，经过水平面后冲上半圆轨道，小球完成半个圆周运动到达D点后水平飞出，落在水平地面上，落点到C点的距离为d．现改变高度h的大小并确保每次都由静止释放小球，测出对应的d的大小，通过数据分析得出了d和h的函数d2=0.64h-0.8，已知斜面与水平面的夹角为θ，BC长为x=4m，小球与斜面和水平面的动摩擦因数相同，取g=10m/s2．求：
（1）斜面的倾角和小球与水平地面间的动摩擦因数；
（2）如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，求h的取值范围．
分析 （1）对A到D过程应用动能定理求得在D处的速度，然后根据平抛运动规律求得d即可根据d的关系式求解；
（2）对小球不脱离轨道的情况进行分析，然后用动能定理求得高度范围．
解答 解：（1）小球从h处由静止开始释放到D点过程中只有重力、摩擦力做功，由动能定理可得：$mg（h-2R）-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$；
所以，${v}_{D}=\sqrt{2g（h-2R-μhcotθ-μx）}$；
小球从D飞出做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$d={v}_{D}t={2v}_{D}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
那么，d2=8R（h-2R-μhcotθ-μx）=8R（1-μcotθ）h-8R（2R+μx）=0.8（1-μcotθ）h-0.8（0.2+4μ）=0.64h-0.8，
所以，μ=0.2，cotθ=1，所以，θ=45°；
（2）小球不脱离半圆轨道，那么小球可能从D点飞出，此时由牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}$；
那么对小球从A到D应用动能定理可得：$mg（h-2R）-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$$≥\frac{1}{2}mgR$；所以，h-2R-0.2h-0.8≥0.5R，所以，$h≥\frac{2.5R+0.8}{0.8}（m）=\frac{21}{16}m$；
或者小球在半圆形导轨运动时，最高点在CE上，且在最高点（高度设为H，那么0＜H≤R）速度为零，那么由动能定理可得：$mg（h-H）-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmgx=0$；
所以，h-H-0.2h-0.8=0；那么，1m＜$h=\frac{H+0.8}{0.8}≤\frac{R+0.8}{0.8}=\frac{9}{8}m$；
综上所述，让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，h的取值范围为$h≥\frac{21}{16}m$或$1m＜h≤\frac{9}{8}m$；
答：（1）斜面的倾角为45°，小球与水平地面间的动摩擦因数为0.2；
（2）如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，h的取值范围为$h≥\frac{21}{16}m$或$1m＜h≤\frac{9}{8}m$．
点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．
如图所示，水平地面BC与光滑曲面AB相切于B点，与内壁光滑的$\frac{1}{4}$细圆管CD相切于C点，管口D正下方直立一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与管口D齐平．将质量为m的小物块（可视为质点）放在弹簧上端且缓慢下压弹簧，当弹簧压缩的长度x1=$\frac{4mg}{k}$（其中g为重力加速度大小），对应弹簧的弹性势能Ep1=$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}}{k}$时，由静止开始释放物块，物块进入管口D后沿DCBA轨道运动且不脱离轨道．已知物块速度最大时弹性势能Ep2=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，物块与BC间的动摩擦因数μ=0.8，BC的长度L1=$\frac{mg}{k}$，圆管CD的半径R=$\frac{mg}{k}$，求：
| A． | A点的角速度比B点的角速度小 | B． | A点的线速度比B点的线速度小 | ||
| C． | A点的角速度与B点的角速度相等 | D． | A点的线速度与B点的线速度相等 |
动车组列车是由几节自带动力的车厢（动车）和几节不带动力的车厢（拖车）编成一组．某兴趣小组在模拟实验中用4节小动车和4节小拖车组成动车组，总质量为m=2kg，每节动车可以提供P0=3W的额定功率．开始时动车组先以恒定加速度a=1m/s2启动做匀加速直线运动，达到额定功率后保持功率不变再做变加速直线运动，直至动车组达到最大速度vm=6m/s并开始匀速行驶．行驶过程中所受阻力恒定．
如图所示，一固定竖直轨道由半径为R的四分之一圆弧AB、长度为L的水平直轨BC和半径为r的四分之一圆弧CD构成，BC与两网弧分别相切于B点和C点．质量为Ⅲ的质点物块从A点由静止释放，恰好能到达D点，已知物块在圆弧AB上克服摩擦力做的功为Wl，在圆弧CD上克服摩擦力做的功为W2，重力加速度大小为g，则（ ）| A． | 物块在水平直轨上的动摩擦因数为$\frac{R+r}{L}$-$\frac{{W}_{1}+{W}_{2}}{mgL}$ | |
| B． | 物块在水平直轨上的动摩擦因数为$\frac{R-r}{L}$-$\frac{{W}_{1}+{W}_{2}}{mgL}$ | |
| C． | 物块在C点的向心加速度的大小为2g+$\frac{{2W}_{2}}{mr}$ | |
| D． | 物块在C点的向心加速度的大小为2g+$\frac{2（{W}_{1}+{W}_{2}）}{mr}$ |
| A． | 若△EK=0，则△E＞0 | B． | 若△E=0，则△EK＞0 | C． | 若△E＞0，则△EK＞0 | D． | 若△E＜0，则△EK＜0 |
如图甲所示，物体以一定的初速度从倾角为α=37°的斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为3.0m，选择地面为参考平面，上升过程中，物体的机械能E机随高度h的变化如图2所示．g=10m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80，则（ ）| A． | 物体的质量m=1kg | |
| B． | 物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.40 | |
| C． | 物体上升过程的加速度大小a=6m/s2 | |
| D． | 物体回到斜面底端时的动能Ek=10J |