Question

3．已知火星的半径为R，在火星表面以初速度竖直向上抛一个小球，经时间t落回出发点．若在火星上发射一颗环绕火星做勻速圆周运动的卫星，以下论述正确的是（　　）

• A． 卫星的线速度不可能小于$\sqrt{\frac{2R{v}_{0}}{t}}$
• B． 卫星的加速度不可能小于$\frac{2{v}_{0}}{t}$
• C． 卫星的角速度不可能小于$\sqrt{\frac{2{v}_{0}}{Rt}}$
• D． 卫星的周期不可能小于π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$

Answer 1

分析 根据竖直上抛运动的速度时间公式求出火星表面的重力加速度，结合重力提供向心力求出在卫星绕火星运动的最大速度、加速度和角速度、周期，然后分析答题．

解答 解：小球做竖直上抛运动，运动时间：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，则重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
火星表面的物体受到的万有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，则：GM=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t}$；
A、卫星做圆周运动万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{rt}}$，由于卫星的轨道半径：r≥R，则：v≤$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$，故A错误；
B、卫星做圆周运动万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t{r}^{2}}$，由于卫星的轨道半径：r≥R，则：a≤$\frac{2{v}_{0}}{t}$，故B错误；
C、卫星的角速度：ω=$\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{{r}^{3}t}}$，由于卫星的轨道半径：r≥R，则：ω≥$\sqrt{\frac{2{v}_{0}}{Rt}}$，故C错误；
D、卫星的周期：T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}}}$，由于卫星的轨道半径：r≥R，则：T≥π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$，故D正确；
故选：D．

点评 本题考查了万有引力定律理论与竖直上抛运动的综合运用，通过速度时间公式求出月球表面的重力加速度是解决本题的关键，知道轨道半径越小，线速度越大、角速度越大，向心加速度越大．