Question

7．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B．支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则（　　）

• A． OA边转动到竖直位置时，A球的速度为2$\sqrt{gl}$
• B． A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
• C． A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
• D． A、B两球的最大动能之比E_KA：E_KB=2：1

Answer 1

分析 AB两个球组成的系统机械能守恒，但对于单个的球来说机械能是不守恒的，根据系统的机械能守恒列式可以求得AB之间的关系，同时由于AB是同时转动的，它们的角速度的大小相同．

解答 解：A、设A球到达竖直位置时，A球和B球的速度分别设为v_A和v_B．
根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为 v_A：v_B=（ω•2l）：（ω•2l）=2：1；
根据机械能守恒定律得：mg•2l-mgl=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²
联立解得：v_A=$\sqrt{\frac{8}{5}gl}$，故A错误．
B、A球速度最大时，系统的总动能最大，由系统的机械能守恒可知两球总重力势能最小，故B正确；
C、当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：
  mg•2lcosθ-2mg•l（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²，
又v_A=2v_B
解得：v_A²=$\frac{8}{5}$gl（sinθ+2cosθ）-$\frac{8}{5}$gl=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$glsin（θ+α）-$\frac{8}{5}$gl，式中 tanα=2，α=arctan2
由数学知识知，当θ=90°-arctan2≠45°时，sinθ+2cosθ有最大值，A球速度最大，故C错误；
D、根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为v_A：v_B=2：1，由动能E_K=$\frac{1}{2}$mv²，得最大动能之比为：4：1；故D错误；
故选：B．

点评 本题中的AB的位置关系并不是在一条直线上，所以在球AB的势能的变化时要注意它们之间的关系，在解题的过程中还要用到数学的三角函数的知识，要求学生的数学基本功要好，本题由一定的难度．