题目内容
【题目】利用电磁场可以对带电粒子的运动进行有效的控制，使得粒子按照预定的轨迹进行，如同作画一般。如图所示，在直角坐标系xOy中，有一质量为m，电荷量为+q的粒子从原点O沿y轴正方向以初速度v0射出，现要求该粒子能通过点P（a，-b），可通过在粒子运动的空间范围内加适当的“场”来实现。粒子重力忽略不计。
(1)若只在x轴上某点固定一带负电的点电荷，使粒子在该点电荷产生的电场中作匀速圆周运动，并最终能到达P点，已知静电力常量为k，求点电荷的电量大小Q。
(2)若只在第Ⅰ、Ⅱ象限内加垂直纸面向外的匀强磁场，并在第Ⅳ象限内加沿x轴正方向的匀强电场，也能使粒子最终运动到达P点。如果此过程中粒子在电、磁场中运动的时间相等，求磁感应强度的大小B和电场强度的大小E。
(3)若在第Ⅰ、Ⅱ象限内加垂直纸面的匀强磁场，并在第Ⅲ、Ⅳ象限内加平行于x轴方向的匀强电场，也能使粒子最终运动到达P点。试讨论磁感应强度B的大小、方向与电场强度E的大小、方向之间的联系，写出B的方向和取值范围，以及与之对应的E的方向和E的表达式。
【答案】(1)
(2)
，
(3) ①B向内，E沿x轴正方向；此时
②B向外，
，E沿x轴正方向；此时
③B向外，
，E沿x轴负方向；此时
【解析】试题分析：（1）根据粒子做匀速圆周运动，由几何关系求得半径，即可根据库仑力做向心力求得点电荷电量；（2）根据粒子在磁场中只受洛伦兹力作用得到粒子做匀速圆周运动，即可得到粒子转过的中心角及周期，从而得到运动时间；再根据粒子在电场中只受电场力作用，做匀变速运动，得到粒子运动位移和时间，然后根据总位移和两阶段运动时间相等求解；（3）根据粒子在磁场中做匀速圆周运动得到粒子离开磁场时的位置坐标及速度方向；再根据粒子在电场中做匀变速运动，根据粒子经过P点，由运动位移求解。
（1）带电粒子在点电荷的电场中做匀速圆周运动，根据粒子只受库仑力作用，库仑力做向心力可得：点电荷固定在粒子做圆周运动的圆心；由粒子做匀速圆周运动可得：粒子由O到P的轨迹如图所示
由几何关系可知
，则粒子做圆周运动的轨道半径
根据库仑力做向心力可得：
解得：
（2）粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：
根据粒子做匀速圆周运动可得：粒子离开磁场时在x轴上，速度垂直x轴方向向下；则粒子转过的中心角为
；故粒子离开磁场时的坐标为（
，0），粒子在磁场中运动的时间
粒子在电场中只受水平向右的电场力作用，故粒子做加速度
的类平抛运动；粒子由O到P的轨迹如图所示
故根据类平抛运动规律可得：
，
由
，解得：磁感应强度的大小
所以，粒子在磁场中的轨道半径
，
故电场强度
（3）粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，那么，粒子离开磁场进入电场时的速度方向向下，大小为
；设粒子在磁场中的轨道半径为r，那么，根据洛伦兹力做向心力可得：
，所以
若磁场方向垂直纸面向里，则粒子离开磁场时的坐标为（-2r，0）；若磁场方向垂直纸面向外，则粒子离开磁场时的坐标为（0，2r）；粒子在电场中只受水平方向的电场力作用，故粒子做类平抛运动，运动时间
。
①当磁场方向垂直纸面向里，粒子离开磁场时的坐标为（-2r，0）时，电场方沿x轴正方向，且有
所以电场强度
②当磁场方向垂直纸面向外，粒子离开磁场时的坐标为（0，2r），且2r＜a时，
，电场方向沿x轴正方向，且有
所以电场强度
③当磁场方向垂直纸面向外，粒子离开磁场时的坐标为（0，2r），且2r＞a时，
，电场方向沿x轴负方向，且有
所以电场强度
