Question

5．我国在2010年实现探月计划--“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为R，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球绕地球的运动时，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列出月球的轨道半径与地球质量等物理量的关系式；物体在地球表面上时，由重力等于地球的万有引力求出地球的质量，再求出月球的轨道半径．
（2）小球在月球表面做竖直上抛运动，由t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，根据g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$求出月球的质量M_月．

解答 解：（1）令地球质量为M，则根据万有引力定律和向心力公式有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
在地球表面重力与有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…②
由②式得地球质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
代入①可得月球轨道半径为：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g′，根据题意：
得：t=$\frac{2{v}_{0}}{g′}$…③
又g′=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$…④
解③④得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的质量M_月为$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力，在天体表面重力与万有引力相等．