Question

15．如图所示，匀强磁场分布在0≤x≤2L且以直线PQ为下边界的区域内，∠OPQ=30°．y≤0的区域内存在着沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子重力）从电场中一点M（-$\sqrt{3}$L，-$\frac{L}{2}$）以初速度v₀沿x轴正方向射出后，恰好经过坐标原点O进入第I象限，最后刚好不能从磁场的右边界飞出．求：
（1）匀强电场的电场强度的大小E；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小B；
（3）粒子从M点出发到离开磁场过程中所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达N的速度方向可利用速度的合成与分解得知此时的速度，根据牛顿第二定律可求出加速度与速度及位移关系，从而求出电场强度；
（2）应用动能定理即可求得电场中粒子的速度，粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，先画出轨迹图，找出半径；利用洛伦兹力提供向心力的公式，可求出在磁场中运动的半径．
（3）利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，然后求出运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水量方向：$\sqrt{3}$L=v₀t，竖直方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at²，
由牛顿第二定律得：qE=ma，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）粒子在O点：v_y=at，解得：v_y=$\frac{{v}_{0}}{\sqrt{3}}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=$\frac{2{v}_{0}}{\sqrt{3}}$，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{{v}_{0}}{\sqrt{3}}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，与x轴正方向的夹角：θ=30°，
进入磁场后，有：（L+2r）sin30°=r+$\frac{r}{2}$，解得：r=L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$；
（3）电场中时间：t₁=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$，
匀速运动时间t₂=$\frac{\sqrt{3}L}{v}$=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$，
在磁场中运动时间t₃=$\frac{πr}{v}$=$\frac{\sqrt{3}πL}{2{v}_{0}}$，
总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}π）L}{2{v}_{0}}$；
答：（1）匀强电场的电场强度的大小E为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小B为$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$；
（3）粒子从M点出发到离开磁场过程中所用的时间为$\frac{（2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}π）L}{2{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动、在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题，作出粒子运动轨迹、应用几何知识是正确解题的前提．