Question

11．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s²的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内．问：
（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
（2）警车发动后要多长时间才能追上货车？

Answer 1

分析 货车匀速运动在前面，警车从静止开始匀加速运动在后面追，刚开始货车的速度大于警车速度，故两车之间的距离越来越大，当两车速度相等时，位移最大，之后警车速度大于货车，两车之间的距离逐渐减小直至追上．在此过程中注意，警车发动的时间，货车在做匀速运动，而警车不能一直加速下去，当速度达到90km/h时就不能增加了，而做匀速运动．所以该题要先分析警车能不能在匀加速阶段追上货车，若不能，则在匀速阶段追上．当警车追上货车时两车位移相等．

解答 解：（1）警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t₁时间两车的速度相等．则有：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{10}{2.5}s=4s$，
此时货车的位移为：s_货=（t₀+t₁）v₁=（5.5+4）×10 m=95 m
警车的位移为：${s}_{警}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×16m=20m$．
所以两车间的最大距离为：△s=s_货-s_警=75 m．
（2）v₀=90 km/h=25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间为：
${t}_{2}=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{25}{2.5}s=10s$，
 此时货车的位移为：s′_货=（t₂+t₀）v₁=（5.5+10）×10 m=155 m
警车的位移为：s′_警=$\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×100$m=125m，
因为s′_货＞s′_警，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离为：
△s′=s′_货-s′_警=30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车，则有：
$△t=\frac{△s′}{{v}_{m}-{v}_{1}}=\frac{30}{25-10}s=2s$，
所以警车发动后要经过t=t₂+△t=12 s才能追上货车．
答：（1）经过4s两车间的距离最大，此最大距离是75m；
（2）警车发动后要12s才能追上货车．

点评 两物体在同一直线上运动，往往涉及到追击、相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：
①分别对两个物体进行研究；
②画出运动过程示意图；
③列出位移方程；
④找出时间关系、速度关系、位移关系；
⑤解出结果，必要时要进行讨论．这是一道典型的追击问题．要抓住速度、时间、位移之间的关系，必要时可以作出速度时间图象帮助解题．