Question

11．如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里．一带正电的粒子（不计重力）从M点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t₀时间从N点射出．
（1）求电场强度的大小和方向．
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从M点以相同的速度射入，经$\frac{{t}_{0}}{2}$时间恰从圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小．
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍，请结合（2）中的条件，求粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）由左手定则判断出粒子所受洛伦兹力方向，然后应用平衡条件求出电场强度大小与电场强度方向．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的加速度．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子运动的半径，然后结合偏转的角度求出时间．

解答 解：（1）由左手定则可知，粒子刚射入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力是一对平衡力，电场力水平向左，粒子带正电，则电场强度的方向水平向右；由平衡条件得：
qE=qv₀B，
又：${v}_{0}=\frac{2R}{{t}_{0}}$
解得电场强度大小为：E=$\frac{2BR}{{t}_{0}}$；
（2）由左手定则可知，正电荷向上运动的过程中受到的洛伦兹力的方向向左，所以电场力的方向向右，电场的方向向右，撤去磁场后粒子在电场中做类平抛运动，
竖直方向：y=v₀t=${v}_{0}•\frac{{t}_{0}}{2}={v}_{0}•\frac{\frac{2R}{{t}_{0}}}{2}=R$，
竖直方向的位移是R，所以粒子从圆形区域的最右边射出，所以水平方向的位移也是R，则水平方向：$R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：$a=\frac{2R}{{t}^{2}}=\frac{2R}{（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}}=\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$
（2）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹的半径r：
粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
q2v₀B=m$\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
而：qv₀B=qE=ma=$\frac{8mR}{{t}_{0}^{2}}$
解得：$r=\frac{m•2{v}_{0}}{qB}=\frac{m•2•\frac{2R}{{t}_{0}}•\frac{2R}{{t}_{0}}}{\frac{8mR}{{t}_{0}^{2}}}=R$
粒子在磁场中运动的半径与磁场的半径相同，所以粒子在磁场中运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆周，则运动的时间为$\frac{1}{4}$周期．粒子在磁场中运动的时间为：
$t′=\frac{1}{4}•T=\frac{1}{4}•\frac{2πr}{2{v}_{0}}=\frac{πR}{4{v}_{0}}=\frac{π{t}_{0}}{8}$
答：（1）电场强度的大小是$\frac{2BR}{{t}_{0}}$，方向水平向右．
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从M点以相同的速度射入，经$\frac{{t}_{0}}{2}$时间恰从圆形区域的边界射出．粒子运动加速度的大小是$\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$．
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍，请结合（2）中的条件，粒子在磁场中运动的时间$\frac{π{t}_{0}}{8}$

点评 解答本题的关键是分析粒子的受力情况，再分析运动情况．对于类平抛运动要掌握分解的方法，对于匀速圆周运动，运用几何知识确定圆心角是关键．