Question

18．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点．
（1）已知小球a的质量为m，求小球b的质量为$\sqrt{\frac{R}{r}}$m 
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有的弹性势能为5mgR．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出最高点的速度，根据机械能守恒定律列出等式求解
（2）由动量守恒定律得出速度关系，根据机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）a球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，由重力充当向心力．则有：
 mg=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
根据机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{′2}$
解得：v_a=$\sqrt{5gR}$；
同理可得：v_b=$\sqrt{5gr}$
取向左为正方向，根据动量守恒定律得：mv_a-m_bv_b=0
所以：m_b=$\sqrt{\frac{R}{r}}$m．
（2）由题意分析知，应该按照a球在轨道最顶点具有临界速度这一条件计算．依照上面结果可得：
  v_a=$\sqrt{5gR}$；
  mv_a=m_bv_b
所以有：E_p=2×$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$=5mgR．
故答案为：$\sqrt{\frac{R}{r}}$m，5mgR．

点评 解决该题关键能判断出小球能通过最高点的条件，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解．