Question

5．如图，在竖直平面内由$\frac{1}{4}$圆弧AB和$\frac{1}{2}$圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为$\frac{R}{2}$．一小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{4}$处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律分别求出小球经过B点和A点的动能，再得到它们的比值．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒定律求出小球到达C点的速度，与临界速度比较，即可判断小球能否到C点．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律得
  E_KA=mg$\frac{R}{4}$
  E_KB=mg（$\frac{R}{4}$+R）=$\frac{5mgR}{4}$
则得小球在B、A两点的动能之比 E_KB：E_KA=5：1．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
  mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
即得到达C点的速度 v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
设小球通过C点的临界速度为v₀．则有
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{\frac{R}{2}}$
即得 v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因为 v_C=v₀，所以小球恰好到达C点．
答：
（1）小球在B、A两点的动能之比是5：1．
（2）小球恰好到达C点．

点评 分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点临界速度的求法：重力等于向心力，同时要熟练运用机械能守恒定律．