题目内容

17．云霄飞车是迪士尼游乐项目之一，其实就是一种过山车，为明白其原理特简化成以下模型：如图所示轨道在竖直面内，由倾斜、圆形、水平三部分组成，其中圆形部分两边的是圆环，中间的是圆管，B、C、D分别是轨道的三个圆形部分的最低点，B、C间距与C、D间距相等，轨道倾斜、圆形部摩擦不计，飞车与轨道的水平部分间的动摩擦因数μ=0.2，半径R1=2.0m、R2=3.0m，整个轨道装置的质量M=4kg，固定在地面上．质量为m=2.0kg的飞车（视为质点，轨道圆管部分的直径比飞车高度略大）从轨道的左侧A点静止滑下，当飞车运动到轨道的第一个圆形部分的最高点时，整个轨道对地刚好无压力，且飞车恰好能过轨道的第二、三个图形部分的最高点．假设水平轨道足够长，轨道的圆形间不互相重叠．重力加速度取g=10m/s2．试求：
（1）飞车出发位置到轨道最低点的高度；
（2）B、C间距应是多少？
（3）轨道的第三个圆形部分的半径R3是多少；飞车最终停留点与D点的距离．

分析 （1）根据轨道对地面恰好无压力可明确飞车对轨道的作用点，从而明确轨道对飞车的作用力；再根据向心力公式即可明确飞车在第一个最高点的速度；再由机械能守恒定律可求得开始下落点的高度；
（2）第二个轨道为圆环，只要能到最高点即可；故临界值为最高点的速度为零；根据动能定理可求得BC间的距离；
（3）根据临界条件可求得小球能经过最高点的临界条件，由向心力公式可求得最高点的速度；再对第二个圆环最高点到静止过程分析，由动能定理可求得最后在水平面上滑行的距离．

解答 解：（1）要使飞车到达轨道的第一个圆形部分的最高点时，整个轨道对地刚好无压力，则说明飞车对轨道向上的压力为FN=Mg=4×10=40N； 则可知轨道对飞车由向下的40N的压力； 由向心力公式可知：
mg+FN′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
对飞车由最高点下滑到第一个轨道的最高点过程由机械能守恒定律可知：
mg（h-2R1）=$\frac{1}{2}$mv12
联立解得：h=7m；
（2）飞车恰能通过第二个圆轨道的最高点，则有：
v2=0；
对从最高点至到达第二个轨道的最高点，由动能定理可知：
mg（h-2R2）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv22；
联立解得：s=0.5m；
（3）飞车通过最后一个圆形最高点时，根据向心力公式有：
mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
对从第二个轨道的最高点到三个轨道的最高点，由动能定理可知：
mg（2R2-2R3）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv32
解得：R3=2.36m；
对第三个轨道的最高点到最终停止过程，由动能定理可知：
μmgx=$\frac{1}{2}$mv32
解得：x=0.59m；
答：（1）飞车出发位置到轨道最低点的高度7m；
（2）B、C间距应是0.5m；
（3）轨道的第三个圆形部分的半径R3是2.36m；飞车最终停留点与D点的距离0.59m

点评 本题考查了动能定理、向心力公式等，要注意最高点临界条件的分析，明确第二个环可以视为杆模型，而第一和第三个环应视为绳模型； 然后再灵活选择物理过程分析求解．

练习册系列答案
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（3）下面是本实验的数据记录表，请将第2次、第3次…实验中橡皮筋做的功填写在对应的位置；
橡皮筋做的功10个间隔的距离S（m）10个间隔的时间T（s）小车获得的速度vn（m/s）小车速度的平方vn2 （m/s）2
1W0.2000.2
20.2800.2
30.3000.2
40.4000.2
50.4500.2
（4）从理论上讲，橡皮筋做的功Wn 和物体速度vn 变化的关系应是Wn∝v2．请你运用数据表中测定的数据在图2所示的坐标系中作出相应的图象验证理论的正确性．
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