Question

19．如图所示，一透明半球的半径为R，对单色光a和b的折射率分别为n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和n₂=2．真空中两细束平行单色光a和b从半球的左、右两侧沿半球的平面上的一条直径向球心移动，光始终与透明半球的平面垂直．一旦光束到某一位置恰好从透明半球的球面射出（不考虑光在透明介质中的多次反射后再射出球面）即停止移动．将此时a、b入射点分别记为P、Q（图中未画出）求：
①PQ的距离d．
②设真空中光束为c，现让单色光束a和b分别从P、Q两点，同时垂直入射，求两束光到达相交位置的时间差△t．

Answer 1

分析 ①由sinC=$\frac{1}{n}$求出两束光的临界角，由题意知道a、b两光束射到半球圆弧上时入射角等于临界角，由几何知识求解两细束单色光a和b的距离d；
②由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球中传播的速度，由几何知识求出光在半球内、外传播的距离，即可求得各自传到交点的时间，从而得到时间差．

解答 解：①设单色光束a和b在透明半球中全反射的临界角分别为C₁和C₂．
对单色光a，若从P处入射时恰好从透明半球面O₁出射，则：
sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$，
得临界角为：C₁=60°
对单色光b，若从Q处入射时恰好从透明半球面O₂出射，则：
sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$，
得临界角：C₂=30°
由几何知识得：d=OP+OR=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R
②设从球面射出的两单色光交于O₃，如图光路所示，由于OO₁=OO₂=R 且OO₁⊥OO₂，故OO₁O₃O₂为正方形
a光路径为PO₁O₃，b光路径为PO₂O₃，传播形成时间差为：
△t=$\frac{P{O}_{2}}{\frac{c}{{n}_{2}}}$-$\frac{P{O}_{1}}{\frac{c}{{n}_{1}}}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$
答：①PQ的距离d是$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R．
②两束光到达相交位置的时间差△t是$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$．

点评 本题要掌握全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，能灵活运用几何知识求解相关角度和距离，要作出光路图帮助解答．