Question

12．如图所示，真空中以O′为圆心，半径为r的圆形区域内只存在垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域的最下端与xOy坐标系的x轴相切于坐标原点O，圆形区域的右端与平行y轴的虚线MN相切，在虚线MN右侧x轴的上方足够大的范围内有方向水平向左的匀强电场，电场强度大小为E．现从坐标原点O沿xOy平面在y轴两侧各30°角的范围内发射速率均为v₀带正电粒子，粒子在磁场中的偏转半径也为r，已知粒子的电荷量为q，质量为m，不计粒子的重力、粒子对电磁场的影响及粒子间的相互作用力，求：
（1）磁场的磁感应强度B的大小；
（2）沿y轴正方向射入磁场的粒子，在磁场和电场中运动的总时间；
（3）若将匀强电场的方向调为竖直向下，其他条件不变，则粒子达到x轴的最远位置与最近位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力列方程求B的大小；
（2）作出粒子运动轨迹，确定粒子在磁场中转过的圆心角后可确定磁场中的时间，由牛顿第二定律和匀变速直线运动的速度时间公式可求得电场的时间；
（3）当粒子沿着y轴两侧30°角射入时，将会沿着水平方向射出磁场区域，之后垂直虚线MN分别从P'、Q'射入电场区，做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出粒子达到x轴的最远位置与最近位置之间的距离．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  ①，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$ ②
（2）分析可知，带电粒子运动过程如图所示，

由粒子在磁场中运动的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$     ③
可知粒子第一次在磁场中运动的时间：t₁=$\frac{1}{4}$T    ④
t₁=$\frac{πr}{2{v}_{0}}$       ⑤
粒子在电场中的加速度a=$\frac{qE}{m}$ ⑥
粒子在电场中减速到0的时间：t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$   ⑦
由对称性，可知运动的总时间：t=2t₁+2t₂=$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$  ⑧
（3）由题意分析可知，

当粒子沿着y轴两侧30°角射入时，将会沿着水平方向射出磁场区域，之后垂直虚线MN分别从P'、Q'射入电场区，做类平抛运动，最终到达x轴的位置分别为最远位置P和最近位置Q．                                       
由几何关系P'到x轴的距离y₁=1.5r
t₁=$\sqrt{\frac{2{y}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$ 
最远位置P坐标为x₁=v₀t₁=v₀$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$           
Q'到x轴的距离y₂=0.5r            
t₂=$\sqrt{\frac{2{y}_{2}}{a}}$=$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$ 
最近位置Q坐标为x₂=v₀t₂=v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$                                    
所以，坐标之差为△x=x₁-x₂=（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$；                     
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）沿y轴正方向射入磁场的粒子，在磁场和电场中运动的总时间为$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）则粒子达到x轴的最远位置与最近位置之间的距离为（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$．

点评 考查粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，在电场力作用下做类平抛运动，掌握两种运动的处理规律，学会运动的分解与几何关系的应用．注意正确做出运动轨迹是解题的重点．