Question

12．如图所示，一圆柱形绝热气缸竖直放置，通过绝热活塞封闭着一定质量的理想气体．活塞的质量为m，横截面积为S，与容器底部相距h，现通过电热丝缓慢加热气体，当气体的温度为T₁时活塞上升了h，已知大气压强为p₀，重力加速度为g，不计活塞与气缸的摩擦．
（1）求温度为T₁时气体的压强；
（2）现停止对气体加热，同时在活塞上缓慢添加砂粒，当添加砂粒的质量为m₀时，活塞恰好回到与容器底部相距$\frac{h}{2}$位置，求此时气体的温度．

Answer 1

分析 （1）由题，活塞处于平衡状态，根据平衡条件列式求气体的压强；
（2）当添加砂粒的质量为m₀时，活塞恰好回到距容器底部$\frac{h}{2}$的位置，再以活塞为研究对象，由平衡条件求得封闭气体的压强，由理想气体状态方程列式求此时气体的温度．

解答 解：①设气体压强为${p}_{1}^{\;}$，由活塞平衡知：${p}_{1}^{\;}S=mg+{p}_{0}^{\;}S$
解得：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$
②设温度为${T}_{1}^{\;}$时气体为初态，回到原位置时为末态，则有：
初态：压强：${p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$；温度${T}_{1}^{\;}$；体积：${V}_{1}^{\;}=2hS$
末态：压强：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{（m+{m}_{0}^{\;}）g}{S}$；温度${T}_{2}^{\;}$；体积：${V}_{2}^{\;}=\frac{h}{2}S$
由理想气体的状态方程$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
解得：${T}_{2}^{\;}$=$\frac{（m+{m}_{0}^{\;}）g+{p}_{0}^{\;}S}{4（mg+{p}_{0}^{\;}S）}{T}_{1}^{\;}$
答：（1）温度为T₁时气体的压强为${p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$；
（2）现停止对气体加热，同时在活塞上缓慢添加砂粒，当添加砂粒的质量为m₀时，活塞恰好回到与容器底部相距$\frac{h}{2}$位置，此时气体的温度为$\frac{（m+{m}_{0}^{\;}）g+{p}_{0}^{\;}S}{4（mg+{p}_{0}^{\;}S）}{T}_{1}^{\;}$．

点评 （1）确做功与热量的正负的确定是解题的关键；（2）对气体正确地进行受力分析，求得两个状态的压强是解题的关键．属于中档题．