Question

4．一物体沿直线运动．
（1）若它在前一半时间内的平均速度为v₁，后一半时间的平均速度为v₂，则全程的平均速度为多大？
（2）若它在前一半路程的平均速度为v₁，后一半路程的平均速度为₂，则全程的平均速度多大？
（3）试比较两次平均速度的大小．

Answer 1

分析 （1）已知路程与运动时间，由平均速度公式可以求出汽车的平均速度．
（2）由速度公式的变形公式求出汽车的运动时间，然后由平均速度公式求出全程的平均速度．
（3）通过作商的方法可比较出两次的平均速度．

解答 解：（1）前一半时间和后一半时间相同设为t，由s=vt可知，前一半时间通过位移为：
x₁=v₁t
后一半时间通过位移为：
x₂=v₂t
全程平均速度为：
v=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2t}=\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$
（2）设总路程为2s，则前半段与后半段的路程都是s，
由v=$\frac{s}{t}$可知，
汽车的运动时间：
t₁=$\frac{s}{{v}_{1}}$，t₂=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
总的运动时间：t=t₁+t₂，
全程的平均速度：$\overline{v}=\frac{2s}{t}=\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
（3）$\frac{v}{\overline{v}}$=$\frac{\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}}{\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}}$=$\frac{{（{v}_{1}+{v}_{2}）}^{2}}{4{v}_{1}{v}_{2}}$＞1；
故第一种情况下的平均速度大；
答：（1）若它在前一半时间内的平均速度为v₁，后一半时间的平均速度为v₂，则全程的平均速度为$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$
（2）若它在前一半路程的平均速度为v₁，后一半路程的平均速度为₂，则全程的平均速度$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
（3）第一种情况的平均速度大于第二种情况下的平均速度．

点评 本题考查了求汽车的平均速度问题，熟练应用平均速度公式及其变形公式即可正确解题，解题时要注意，平均速度是物体的路程与所用时间的比值，求平均速度应先求出路程与所对应的运动时间．