Question

17．如图所示，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑管道半径略大于小球半径．管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，B点在O的正下方．小球自A点正上方由静止释放．自由下落至A点时进人管道．从上端口C点飞出后恰好落在A点．求：
（1）小球飞出C点时的速度大小
（2）释放点距A点的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）根据小球从C到A做平抛运动，由平抛运动位移规律求得在C点的速度；
（2）根据小球运动到C的过程只有重力做功，机械能守恒求得高度．

解答 解：（1）小球从上端口C点飞出后做平抛运动恰好落在A点，那么有：$R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，R=v_Ct，所以，${v}_{C}=\frac{R}{t}=\frac{R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$；
（2）设释放点距A点的竖直高度为h，小球运动过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$mgh=mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{5}{4}mgR$
所以释放点距A点的竖直高度为：$h=\frac{5}{4}R$；
答：（1）小球飞出C点时的速度大小为$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$；
（2）释放点距A点的竖直高度为$\frac{5}{4}R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．