Question

2．如图所示，在Ⅰ区里有竖直方向的匀强电场E=4×10⁵N/C，在Ⅱ区里有垂直于纸面向外的匀强磁场，电场竖直边界PQ、MN的间距和磁场竖直边界MN、RS的间距相等均为d，d=0.4m．质荷比$\frac{m}{q}$=4×10^-10kg/C的带正电粒子，以初速度v₀=2×10⁷m/s从PQ边界上的O点垂直PQ射入电场．若电、磁场在竖直方向分布足够广，不计粒子的重力．求；
（1）求粒子经过电场、磁场边界MN时的速度及偏离v₀方向的夹角；
（2）若要使粒子未从磁场边界RS穿出，则磁感应强度B的取值范围；
（3）粒子在电、磁场中的运动时间的最大可能值．

Answer 1

分析 （1）由类平抛运动规律求得运动时间，再根据受力求得加速度，即可求得竖直分速度，进而由速度的合成求得速度大小及方向；
（2）根据几何关系求得半径范围，然后由洛伦兹力做向心力求得磁感应强度范围；
（3）根据几何关系求得粒子在磁场中转过的中心角及粒子再次进入电场时水平分速度，然后由匀速圆周运动规律及类平抛运动规律求得运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中运动只受电场力作用，做类平抛运动，故运动时间${t}_{1}=\frac{d}{{v}_{0}}=2×1{0}^{-8}s$，粒子运动的加速度$a=\frac{qE}{m}=1×1{0}^{15}m/{s}^{2}$；
故粒子经过电场、磁场边界MN时的竖直分速度${v}_{y}=a{t}_{1}=2×1{0}^{7}m/s$，速度$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2\sqrt{2}×1{0}^{7}m/s$，与v₀方向的夹角$θ=arctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=45°$；
（2）若要粒子不从RS穿出，那么，由几何关系可得：粒子在磁场中做圆周运动的半径$R≤\frac{d}{1+sin45°}=0.4（2-\sqrt{2}）m$；
故由洛伦兹力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$B=\frac{mv}{qR}≥0.02（1+\sqrt{2}）T$；
（3）由粒子在磁场中做圆周运动，根据几何关系可知：粒子在磁场中转过$\frac{3}{2}π$的中心角，粒子离开磁场时在MN上速度沿水平方向的分量为v₀；
所以，粒子在电场中运动时间${t}_{1}′=2×\frac{d}{{v}_{0}}=4×1{0}^{-8}s$；粒子在磁场中的运动时间${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}≤3π（\sqrt{2}-1）×1{0}^{-8}s$=3.9×10^-8s；
所以，粒子在电、磁场中的运动时间的最大可能值为${t}_{1}′+{t}_{2m}=7.9×1{0}^{-8}s$；
答：（1）粒子经过电场、磁场边界MN时的速度为$2\sqrt{2}×1{0}^{7}m/s$，偏离v₀方向的夹角为45°；
（2）若要使粒子未从磁场边界RS穿出，则磁感应强度B的取值范围为$B≥0.02（1+\sqrt{2}）T$；
（3）粒子在电、磁场中的运动时间的最大可能值为7.9×10^-8s．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．