题目内容

11．如图所示，是一摩托车特技表演的轨道示意图．AB是距地面高为H的平台上的水平加速轨道，其长度为L，CD是半径为R的$\frac{1}{8}$竖直光滑圆弧轨道，CD轨道在最低点D与水平面相切，D点恰好又是紧接的竖直光滑圆形轨道的入口，该圆形轨道的出口与右侧水平减速轨道EF光滑相接．假设某总质量为m的摩托车（可视为质点）由A点从静止开始沿AB轨道做匀加速直线运动，到达B端时关闭发动机后水平飞出，刚好从C点沿切线方向进入圆弧轨道，运动过程中恰能通过圆形轨道的最高点P，最后从E点进入减速轨道直到停止．已知重力加速度为g，不计空气阻力．试求：

（1）摩托车在AB轨道上的加速度a；
（2）竖直圆形轨道的半径．

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的竖直分速度，结合平行四边形定则求出平抛运动的初速度，结合速度位移公式求出匀加速运动的加速度．
（2）根据机械能守恒定律求出P点的速度，结合牛顿第二定律，抓住恰好通过P点，求出竖直圆形轨道的半径．

解答 解：摩托车运动分为三个阶段处理：AB段加速，BC段平抛、CDP段光滑曲线运动．设摩托车在AB轨道上的加速度为a，从B处飞出的速度为υ0，BC段平抛的竖直位移为h，到达C点的竖直分速度为υCy，水平分速度为υCx，竖直圆形轨道的半径为r，经过最高点P的速度为υ．
（1）对AB轨道上的加速过程有：2aL=υ02…①
对BC段的平抛运动过程有：υcy2=2gh…②
υcx=υ0…③
由几何关系可知，$h=H-（1-cos45°）R=H-（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）R$…④
到达C点时的速度偏向角为45°，所以两分速度大小相等：υCx=υCy…⑤
联立①②③④⑤解得：${υ_0}=\sqrt{2gH-2（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）gR}$…⑥
$a=\frac{{gH-（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）gR}}{L}$…⑦
（2）以水平地面为参考平面，摩托车从B到P的过程机械能守恒，所以$\frac{1}{2}m{υ_0}^2+mgH=2mgr+\frac{1}{2}m{υ^2}$…⑧
在P点由动力学原理得：$mg=\frac{{m{υ^2}}}{r}$…⑨
联立⑥⑧⑩解得：$r=\frac{{4H-（2-\sqrt{2}）R}}{5}$…⑩

答：（1）摩托车在AB轨道上的加速度为$\frac{gH-（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）gR}{L}$；
（2）竖直圆形轨道的半径为$\frac{4H-（2-\sqrt{2}）R}{5}$．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒与平抛运动和圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．

练习册系列答案
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1．图是某电源的路端电压随电流变化的特性曲线，则该电源的内阻为1.6Ω，短路电流为3.75A．
2．如图所示，在沿着水平向右的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，以r为半径沿逆时针转动，θ为OA与水平向右方向的夹角，则OA两点之间的电势差为（　　）
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19．如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置-时间（x-t）图象．由图可知（　　）
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B．在时刻t2，a车追上b车，且运动方向相同
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先增大后减小
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a小
6．如图甲所示，水平传送带始终以恒定速率υ1向右运行．质量为m的物块，以υ2的初速度从与传送带等高的光滑水平地面上的A处向左滑入传送带．若从物块滑上传送带开始计时，物块在传送带上运动的υ-t图象（以地面为参考系）如图乙所示．已知υ2＞υ1，则（　　）
A．t1时刻，物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0-t3时间内，物块受到的摩擦力方向一直向右
D．t1-t2时间内，物块做匀加速运动
16．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2．求：
（1）X星球的质量；
（2）登陆舱在r1与r2轨道上运动的速度大小之比v1：v2；
（3）登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期．
3．若在地面上沿水平方向直接发射一飞行器，如果发射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s，（不计空气阻力）则它将（　　）
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C．挣脱地球的束缚绕太阳运动D．挣脱太阳的束缚飞离太阳系
20．细绳的一端系一个小玩具，另一端悬于车厢顶上，汽车运动过程中的某时刻，发现挂玩具的细绳同前摆了一个角度，经目测，这个角度大约是30°，则这辆汽车的运动情况可能是（　　）
A．正在刹车B．正在启动
C．加速度大小约为5m/s2D．加速度大小约为0.6m/s2
12．某同学要测量一均匀新材料制成的圆柱体的电阻率ρ．步骤如下：

（1）用游标为20分度的卡尺测量其长度如图1，由图可知其长度L=50.15mm；
（2）用螺旋测微器测量其直径如图2，由图可知其直径D=4.699mm；
（3）用多用电表的电阻“×10”挡，按正确的操作步骤测此圆柱体的电阻，表盘的示数如图3，则该电阻的阻值R=300Ω．
（4）该同学想用伏安法更精确地测量其电阻R，现有的器材及其代号和规格如下：
待测圆柱体电阻R
电流表A1（量程0～10mA，内阻约50Ω）
电流表A2（量程0～50mA，内阻约30Ω）
电压表V1（量程0～3V，内阻约30kΩ）
电压表V2（量程0～15V，内阻约50kΩ）
直流电源E（电动势4V，内阻不计）
滑动变阻器R1（阻值范围0～50Ω，允许通过的最大电流0.5A）
开关S、导线若干．
为使实验误差较小，要求测得多组数据进行分析，请在图4中画出测量的电路图，并标明所用器材的代号．

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