Question

14．激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目．其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．其工作过程可以简化为如下情景：如图所示，左侧倾角α=30°的轨道AB（其长L₁=30 m）上相互间隔安装着主动轮，主动轮与游船间的动摩擦因数μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=；右侧倾角β=53°的轨道CD（其长L₂=20 m）上相互间隔安装着导向轮（不会提供动力），导向轮与游船间的动摩擦因数均为μ₂=$\frac{41}{72}$；左右两侧轨道通过一段平滑轨道BC（其长L₃=3 m）相连，两相邻主动轮（或导向轮）间的距离s₀=1 m．长为L0=2 m的游船上坐着两个游客，总质量为180 kg，从左侧轨道如图所示的位置由静止开始被主动轮带动向上运动（主动轮的半径r=0.2 m，恒定的角速度ω=10 rad/s），达恒定的速率后，一直以此速率运动到游船尾部刚好与右侧轨道的上端C点平齐的位置，之后在导向轮上向下滑动．已知g=10 m/s²，sin 53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得加速和减速时的加速度，利用运动学公式求得时间；
（2）根据P=fv求得动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率

解答 接：（1）游船加速上升阶段，设其加速度为a₁，有牛顿第二定律有：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入数据解得：${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$
从静止达到共同速度所用时间为t₁，上移的距离为x₁，有速度时间公式可得：v=a₁t₁
主动轮的线速度为：v=ωr=0.2×10m/s=2m/s
联立并代入数据解得：t₁=0.8s
${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}=0.8m$
匀速运动的位移为：x₂=L₁+L₃-x₃=（30+3-0.8）m=32.2m
匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}s=16.1s$
游船在右侧轨道上运价速运动，加速度为a₂，由牛顿第二定律有：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入数据解得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
加速运动的时间为t₃，游船在右侧轨道上发生的位移为：
${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{3}^{2}$
联立并代入数据解得：t₃=2.4s
所需总时间为：t=t₁+t₂+t₃=19.3s
（2）游船达到恒定速率前动力装置增加的功率为：
P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）v
游船达到恒定速率后动力装置增加的功率为：
P₂=f₂v=（mgsinα）v
动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间为19.3s；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比为3：2

点评 本题主要考查了牛顿第二定律和运动学公式，关键是抓住运动过程的分析