Question

5．如图所示，两根半径为r光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道间距为L，电阻不计，在其上端连有一阻值为R₀的电阻，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻为R的金属棒从轨道的顶端PQ处开始下滑，到达轨道底端MN时对轨道的压力为2mg，求：
（1）棒到达最低点时电阻R₀两端的电压；
（2）棒下滑过程中R₀产生的焦耳热；
（3）棒下滑过程中通过R₀的电量．

Answer 1

分析 （1）金属棒到达轨道MN处时由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出速度v，得到感应电动势E=BLv，电阻R₀两端的电压U=$\frac{E{R}_{0}}{R+{R}_{0}}$．
（2）根据能量守恒定律得知Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．根据串联电路的特点和焦耳定律求解R₀产生的热量．
（3）电量q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}•△t$=$\frac{△BS}{R+{R}_{0}}$．

解答 解：（1）到达最低点时，设棒的速度为v，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由题意有：N=2mg
得：v=$\sqrt{gr}$
金属棒产生的感应电动势为：E=BLv=BL$\sqrt{gr}$
故有：U=$\frac{E{R}_{0}}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BL{R}_{0}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$
（2）由能量转化和守恒得：
Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgr$
金属棒与电阻R₀串联，根据焦耳定律得R₀产生的热量为：
Q₀=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R}Q$=$\frac{mg{R}_{0}r}{2（{R}_{0}+R）}$ 
（3）棒下滑过程中通过R₀的电量为：
q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}•△t$=$\frac{△BS}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BrL}{R+{R}_{0}}$
答：（1）棒到达最低点时电阻R₀两端的电压是$\frac{BL{R}_{0}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）棒下滑过程中产生R₀的热量$\frac{mg{R}_{0}r}{2（{R}_{0}+R）}$；
（3）棒下滑过程中通过R₀的电量是$\frac{BrL}{R+{R}_{0}}$．

点评 本题中金属棒做圆周运动，分析向心力的来源，根据牛顿运动定律求出速度，分析能量如何转化是运用能量守恒定律的关键．