Question

10．如图所示，质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球（大小不计）．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无机械能损失．已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，平板车与Q的质量关系是M：m=4：1，重力加速度为g．求：
（1）小物块Q离开平板车P时，P和Q的速度大小？
（2）平板车P的长度为多少？
（3）小物块Q落地时与平板车P的水平距离为多少？

Answer 1

分析 小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无能量损失，满足动量守恒的条件且能量守恒．小物块Q在平板车P上滑动的过程中，二者相互作用，动量守恒，部分动能转化为内能；同时注意平抛运动规律的正确应用．

解答 解：（1）设小球与Q碰前的速度为v₀，小球下摆过程机械能守恒．
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v_0}^2$①
由①式解得：v₀=$\sqrt{gR}$②
小球与Q进行弹性碰撞，质量又相等，二者交换速度．
Q与P组成的系统，由动量守恒定律可得：
mv₀=mv₁+Mv₂③
    其中v₂=$\frac{1}{2}{v_1}$，M=4m
将以上数据代入③式解得：v₁=$\frac{{\sqrt{gR}}}{3}$，v₂=$\frac{{\sqrt{gR}}}{6}$④
（2）对系统由能量守恒：$\frac{1}{2}m{v_0}^2$=$\frac{1}{2}m{v_1}^2$+$\frac{1}{2}M{v_2}^2$+μmgL     ⑤
由⑤式解得：L=$\frac{7R}{18μ}$⑥
（3）Q脱离P后做平抛运动，由平抛运动规律可得：h=$\frac{1}{2}g{t^2}$⑦
由⑦式解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$⑧
Q落地时二者相距：s=（v₁-v₂）t   ⑨
由⑨式解得：s=$\frac{{\sqrt{2Rh}}}{6}$⑩
答：（1）小物块Q离开平板车P时，P和Q的速度大小为$\frac{{\sqrt{gR}}}{3}$、$\frac{{\sqrt{gR}}}{6}$；
（2）平板车P的长度为$\frac{7R}{18μ}$
（3）小物块Q落地时与平板车P的水平距离为$\frac{{\sqrt{2Rh}}}{6}$．

点评 逐一分析物体间的相互作用过程，分析得到物体间相互作用时满足的规律：动量守恒、能量守恒等，进而求出要求的物理量