Question

12．如图所示，质量相同的三个小球从足够长的斜面上同一点O分别以初速度v₁、v₂、v₃水平抛出，落在斜面上的位置分别为A、B、C，已知OA=AB=BC，空气阻力不计，则（　　）

• A． v₁：v₂：v₃=1：2：3
• B． 落到斜面时的速度方向不同
• C． 落到斜面时的动能之比为1：2：3
• D． 落到斜面时的动能增量之比为1：4：9

Answer 1

分析 三个小球做平抛运动，运用运动的分解法，得出斜面的长度与初速度、运动时间的关系，再求解初速度、时间的比值．根据动能定理研究动能的增量．

解答 解：A、设物体的初速度为v₀，斜面的倾角为α，斜面落点到O点的长度为L．
则小球落在斜面上时，有 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，得t=$\frac{2{v}_{0}tanα}{g}$
则有 L=$\frac{x}{cosα}$=$\frac{{v}_{0}t}{cosα}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanα}{gcosα}$
α、g一定，则得到 L∝${v}_{0}^{2}$
由于OA=AB=BC，则OA：OB：OC=1：2：3，由上式得 v₁：v₂：v₃=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．故A错误．
B、设小球落到斜面上时速度与水平方向的夹角为θ，则有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanα，与初速度无关，则知落到斜面时的速度方向相同．故B错误．
C、小球落在斜面上速度平方为v²=${v}_{0}^{2}$+（gt）²=${v}_{0}^{2}$（1+4tan²θ）
落到斜面时的动能为 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$（1+4tan²θ）∝${v}_{0}^{2}$，所以落到斜面时的动能之比为1：2：3，故C正确．
D、根据动能定理得，飞行过程中动能增量△E_k=mgLsinθ=2mg${v}_{0}^{2}$tan²θ∝${v}_{0}^{2}$，得飞行过程中动能增量之比为1：2：3．故D错误．
故选：C

点评 本题中斜面的倾角反映了位移与水平方向的夹角，关键确定两个方向的位移关系得出时间表达式．