Question

3．通常地面附近的重力加速度为g₀，方向竖直向下，若某处地下储有石油，则附近的重力加速度g的大小和方向会较g₀出现微小差异，我们把此处的重力加速度在竖直方向上的分数与g₀的偏差，称为重力加速度反常△g，重力探矿的原理就是利用这个现象．
（1）如果认为地球是一个密度为ρ的均匀球体，半径为R，万有引力常数为G，求地面附近的重力加速度的值g₀．
（2）如图水平地面的P点正下方有一体积为V的球形空腔内储有石油，空腔的球心O距地面深度为d（d＜＜R），P点附近有一点Q，Q到P的距离为x，求Q点处的重力加速度的反常△g．（石油的密度远小于地壳的密度，为了计算简单，认为储油空腔为真空）

Answer 1

分析 （1）地面附近的物体重力等于万有引力，可求出地面附近的重力加速度
（2如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．根据万有引力等于重力列出等式，结合几何关系求出空腔引起的Q点处的重力加速度反常．

解答 解：（1）根据物体在地面附近重力等于万有引力
$m{g}_{0}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得：${g}_{0}^{\;}=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
由于$M=ρV=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：${g}_{0}^{\;}=\frac{4}{3}πRρG$
（2）如果将近地表的球形空腔填满密度是ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m△g′$
式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量
M=ρV②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离$r=\sqrt{{d}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}}$③
△g'在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小，Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g是这一改变在竖直方向上的投④
$△g=\frac{d}{r}△g′$④
联立以上各式得：$△g=\frac{GρVd}{（{d}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$
答：（1）如果认为地球是一个密度为ρ的均匀球体，半径为R，万有引力常数为G，求地面附近的重力加速度的值${g}_{0}^{\;}$为$\frac{4}{3}πRρG$．
（2）如图水平地面的P点正下方有一体积为V的球形空腔内储有石油，空腔的球心O距地面深度为d（d＜＜R），P点附近有一点Q，Q到P的距离为x，求Q点处的重力加速度的反常△g为$\frac{GρVd}{（{d}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$．（石油的密度远小于地壳的密度，为了计算简单，认为储油空腔为真空）

点评 本题考查万有引力部分的知识，逆向思维，填满岩石就回到正常值，则反常就是这部分岩石的引力引起的．本题第二问直接求解是有一定难度的．