Question

4．如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）求：
（1）两板间的电压U₀
（2）0～3t₀时间内射入两板间的带电粒子在磁场中运动的最长时间t₁和最短时间t₂
（3）$\frac{1}{2}$t₀时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出电容器加有电压时的电场强度，从而求出有电场时的加速度，把粒子的运动在竖直方向上分为两段，先是匀加速运动，后是匀速运动，在竖直方向上，这两段位移的和大小上等于板间距离的一半．列式即可求出电压．
（2）带电粒子在磁场中的运动时间最短，即为进入磁场时速度方向与y轴的夹角最小的情况，当在电场中偏转的角度最大时，在磁场中的运动时间最短，结合几何知识即可求出最短时间．
（3），$\frac{1}{2}$t₀时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}$t₀时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}$t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动离开电场．根据运动学规律求出y方向分速度与x方向分速度，再合成求出粒子进入磁场时的速度，则牛顿定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径，进而求出离开磁场时的位置坐标．

解答 解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为$\frac{1}{2}$l，则有：E=$\frac{{U}_{0}}{l}$…①，
Eq=ma…②
$\frac{1}{2}$l=$\frac{1}{2}$at₀²…③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为：U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$ 
（2）$\frac{1}{2}$t₀时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}$t₀时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}$t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v₀=$\frac{l}{{t}_{0}}$
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为v_y=a$•\frac{1}{2}$t₀
2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为v_y′=at₀，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则tanα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$，
由以上各式解得α=$\frac{π}{4}$，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2α=$\frac{π}{2}$，所求最短时间为t_min=$\frac{1}{4}$T，带电粒子在磁场中运动的周期为
T=$\frac{2πm}{qB}$，联立以上两式解得t_min=$\frac{πm}{2qB}$，即带电粒子在磁场中运动最短时间t₂=$\frac{πm}{2qB}$，同理可求得带电粒子在磁场中运动的最长时间$\frac{3πm}{2qB}$．
（3）如上所述，t₀/2时刻进入两极板的带电粒子，前t₀/2时间在电场中偏转，后t₀/2时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动离开电场．由③式
$\frac{1}{2}$at₀²=$\frac{1}{2}$l，则在前$\frac{1}{2}$t₀时间沿y轴方向的位移y₁=$\frac{1}{8}$l，之后$\frac{1}{2}$t₀时间沿y轴方向的位移y₂=2y₁=$\frac{1}{4}$l，故带电粒子与y轴相交的坐标为
y=-（y₂+y₁）=-$\frac{3}{8}$l，即带电粒子进入磁场时的位置坐标为（0，-$\frac{3l}{8}$）；
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为β，则tanβ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=$\frac{\frac{l}{{t}_{0}}}{\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}}$=2，此后受到洛伦兹力向上偏转，利用几何关系可以求得带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置相距△y=2Rsinβ=$\frac{4}{\sqrt{5}}$R．
又 带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为v_y=a•$\frac{1}{2}$t₀
带电粒子离开电场时的速度大小为v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
由以上各式解得R=$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$
故△y=$\frac{4}{\sqrt{5}}$R=$\frac{2ml}{qB{t}_{0}}$，因此带电粒子离开磁场时的位置在y轴的坐标
Y=△y+y=$\frac{2ml}{qB{t}_{0}}$-$\frac{3l}{8}$，即带电粒子离开磁场时的位置坐标为（0，$\frac{2ml}{qB{t}_{0}}$-$\frac{3l}{8}$）．
答：（1）两板间的电压U₀为$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$；
（2）0～3t₀时间内射入两板间的带电粒子在磁场中运动的最长时间t₁为$\frac{3πm}{2qB}$．
最短时间t₂为$\frac{πm}{2qB}$；
（3）$\frac{1}{2}$t₀时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置坐标为（0，$\frac{2ml}{qB{t}_{0}}$-$\frac{3l}{8}$）．

点评 点评：该题考查到的知识点较多，首先是考察到了离子在匀强电场中的偏转，并且电场还是变化的，这就要求我们要有较强的过程分析能力，对物体的运动进行分段处理；还考察到了离子在匀强磁场中的偏转，要熟练的会用半径公式和周期公式解决问题；在解决粒子在有界磁场中的运动时间问题时，要注意偏转角度与运动时间的关系，熟练的运用几何知识解决问题．是一道难度较大的题．