题目内容

5．如图所示，竖直平面内的半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点．质量为1kg的小滑块（可视为质点）沿水平面向左滑动，经过A点时的速度vA=6.0m/s．已知半圆形轨道半径R=0.40m，滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.50，A、B两点间的距离L=1.10m．取重力加速度g=10m/s2．
（1）求滑块从A运动到B点所需的时间及运动到B点的速度的大小vB；
（2）如果BC半圆轨道是光滑的，求滑块运动到C点时速度的大小vC及C点受到的压力大小FC．
（3）如果半圆轨道是粗糙的，滑块滑到BC轨道上的P时刚好和轨道分离（P点未标出），P点距B点的竖直高度为h=0.6m，求滑块从A点开始到P点过程中，克服摩擦力所做的功Wf．

分析 （1）从A到B利用动能定理即可求出滑块运动到B点的速度的大小vB．再根据位移等于平均速度乘以时间，求时间．
（2）从B到C，利用机械能守恒定律求滑块运动到C点时速度的大小vC．在C点，由合力提供向心力，由牛顿定律求C点受到的压力大小FC．
（3）滑块滑到BC轨道上的P时刚好和轨道分离，此时滑块只受重力，由重力的法向分力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力求出P点的速度，再对AB过程，运用动能定理求克服摩擦力所做的功Wf．

解答 解：（1）滑块从A运动到B的过程中，根据动能定理有：
-μmgL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：vB=5m/s
由L=$\frac{{v}_{A}+{v}_{B}}{2}t$得滑块从A运动到B点所需的时间为：t=$\frac{2L}{{v}_{A}+{v}_{B}}$=0.2s
（2）滑块从B运动到C的过程中，取水平面为零势能平面，根据机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}$$m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR
代入数据解得：vC=3m/s
在C点，根据牛顿第二定律得：
mg+FC′=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据得：FC′=12.5N
由牛顿第二定律知：FC=FC′=12.5N
（3）设P点所在半径与竖直方向的夹角为θ，由几何知识可得：
cosθ=$\frac{h-R}{R}$=$\frac{0.6-0.4}{0.4}$=0.5，θ=60°
在P点，设滑块的速度为vP，由向心力公式得：
mgcosθ=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
滑块从A点开始到P点过程中，由动能定理得：
-mgh-Wf=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
联立解得，克服摩擦力所做的功为：Wf=13J
答：（1）滑块从A运动到B点所需的时间是0.2s，运动到B点的速度的大小vB是5m/s；
（2）如果BC半圆轨道是光滑的，求滑块运动到C点时速度的大小vC是3m/s，C点受到的压力大小FC是12.5J；
（3）滑块从A点开始到P点过程中，克服摩擦力所做的功Wf是13J．

点评 本题是复杂的力学综合题，关键要在分析清楚物体运动过程的基础上，灵活选择物理规律，要把握滑块离开轨道的临界条件：轨道滑块没有弹力，由重力的法向分力充当向心力．

练习册系列答案
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