Question

8．如图所示，横截面为四分之一圆的柱形玻璃砖放在水平面MN上，O点是圆心．一列与OA面等高的平行光束沿水平方向垂直射向玻璃砖的OA面，平行光束通过玻璃砖后在水平面MN上留下照亮的区域．已知玻璃砖的折射率为n（n＜2），不考虑光在OA、OB面的反射．求：
（1）若在玻璃砖左侧竖直放置一遮光板，使水平面BN不被照亮，遮光板的最小高度是多少？
（2）撤去遮光板，从OA的中点射入的光，在MN上的P处留下一个光点，P点到O点的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）当光线射到AB面上恰好发生全反射时，遮光板的最小高度等于光线在AB面上的入射以ON的距离，根据折射定律求出临界角，由几何知识求出遮光板的最小高度．
（2）作出光路图，根据几何知识确定光线射到AB面上的入射角，由折射定律求出折射角，再由几何知识求出P点到O点的距离．

解答 解：（1）如图1，当光线在AB面入射角大于临界角C时，将没有光线出射后射向BN平面，设遮光板高度为h，则
由折射定律有：sinC=$\frac{1}{n}$，
由几何知识得h=RsinC
求得h=$\frac{R}{n}$．
（2）如图2，当光在AB面中点入射时，入射角为30°，设P点到O点的距离为S，
由折射定律$\frac{sinθ}{sin30°}=n$，
解得sinθ=$\frac{1}{2}n$，cosθ=$\frac{\sqrt{4-{n}^{2}}}{2}$，
在直角△OEP中，θ=30+γ
根据正弦定律有：$\frac{S}{sin（180°-θ）}=\frac{R}{sinγ}$，
因此S=R$\frac{sinθ}{sinγ}$=$R\frac{sinθ}{sin（θ-30°）}$=$R\frac{sinθ}{sinθcos30°-sin30°cosθ}$，
代入θ的正弦值和余弦值，求得P点到O点的距离S=$\frac{2nR}{\sqrt{3}n-\sqrt{4-{n}^{2}}}$．
答：（1）遮光板的最小高度是$\frac{R}{n}$；
（2）P点到O点的距离是$\frac{2nR}{\sqrt{3}n-\sqrt{4-{n}^{2}}}$．

点评 本题考查了几何光学的运用，对数学能力的要求较高，关键作出光路图，结合折射定律和几何关系综合求解．