Question

9．如图所示，支架装置BO′O可绕竖直轴O′O水平转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角为37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=lm，B点距转轴O′O的水平距离和距C点竖直距离相等．（重力加速度g取l0m/m²．sin37°=0.6．cos37°=0.8．sm53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）若装罝静止不动时，求细线AB的拉力T_B和细线AC的拉力T_C的大小；
（2）若装置以角速度ω=2$\sqrt{5}$rad/s绕竖直轴O′O水平匀速转动时，求细线AC和转轴O′O间夹角θ的大小？

Answer 1

分析 （1）静止时受力分析，根据平衡条件列式求解；
（2）对小球进行受力分析，当细线AB张力为零时，绳子AC拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的范围．

解答 解：（1）对小球进行受力分析如图1，由平衡条件得：

T_AB=mgtan37°=0.75×1×10=7.5N，${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=\frac{1×10}{0.8}=12.5$N
（2）由题意，当AB的拉力是0，对应的ω最小时，绳AC与竖直方向的夹角α=37°，受力分析，如图2，则有
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s$＜2\sqrt{5}$rad/s
当ω最大时，绳子AB竖直，有几何关系可知，绳AC与竖直方向的夹角β=53°，则

$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＜2$\sqrt{5}$rad/s，
所以装置以2$\sqrt{5}$rad/s的角速度旋转时，细线AC与竖直方向之间的夹角是53°
答：（1）当装置处于静止状态时，AB细线上的拉力为7.5N，AC细线上的拉力大小为12.5N；
（2）若装置以角速度ω=2$\sqrt{5}$rad/s绕竖直轴O′O水平匀速转动时，求细线AC和转轴O′O间夹角θ是53°．

点评 解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．