Question

14．如图，两根相距L=0.8m，电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连，导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k=0.5T/m，x=0处磁场的磁感应强度B₀=0.5T．一根质量m=0.2kg、电阻r=0.1Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力作用下从x=0处以初速度v₀=8m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻消耗的功率不变．求
（1）金属棒在x=3m处的速度
（2）金属棒在x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小
（3）金属棒从x=0运动到x=3m过程中所用时间．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律相结合，来计算感应电流的大小；
（2）根据电阻消耗的功率不变，知道电路中的电流不变，分别求出x=0与x=3m处的安培力的大小，然后由安培力做功表达式，即可求解；
（3）根据克服安培力做功等于回路中产生的内能，列式求解时间．

解答 解：（1）在x=0处，金属棒切割产生感应电动势为：E₀=B₀Lv₀=0.5×0.8×8=3.2V，
由闭合电路欧姆定律，电路中的电流为：I=$\frac{{E}_{0}}{R+r}$=$\frac{3.2}{0.3+0.1}$A=8A
由题意可知，在x=3m处，B=B₀+kx=0.5+0.5×3=2T，切割产生感应电动势，E=BLv，金属棒运动过程中电阻消耗的功率不变，则金属棒产生的感应电动势不变，电路电流不变，金属棒在x=3m处的速度：v=$\frac{{E}_{0}}{BL}$=$\frac{3.2}{2×0.8}$=2m/s；
（2）当x=0m时有：
安培力大小为 F₀=B₀IL=0.5×8×0.8=3.2N，
x=3m时，有：F=BIL=2×8×0.8=12.8N
根据F=BIL知，I、L不变，B均匀增大，安培力F均匀增大，所以金属棒从x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小，有：W=$\frac{{F}_{0}+F}{2}$x=$\frac{3.2+12.8}{2}×$3J=24J；
（3）克服安培力做功转化为内能，有：W=E₀It，解得：t=$\frac{W}{{E}_{0}I}$=$\frac{24}{3.2×8}$s=0.9375s．
答：
（1）金属棒在x=3m处的速度为2m/s．
（2）金属棒在x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小为24J．
（3）金属棒从x=0运动到x=3m过程中所用时间为0.9375s．

点评 本题考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力的大小公式、做功表达式、动能定理等的规律的应用与理解，运动过程中电阻上消耗的功率不变，是本题解题的突破口．