Question

15．水平放置的平行金属板M、N之间存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的交变磁场（如图所示a，垂直纸面向里为正），磁感应强度B₀=100T．已知两板间距离d=0.3m，电场强度E=50V/m，M板上有一小孔P，在P正上方h=5cm处的O点，一带电油滴自由下落，穿过小孔后进入两板间，最后落在N板上的Q点如图b所示．如果油滴的质量m=10^-4kg，带电量q=2×10^-5C，

（1）若油滴在t=0时刻进入两板间，最后恰好垂直向下落在N板上的Q点．试求交变磁场的变化周期T．
（2）Q、O两点的水平距离．（重力加速度g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）油滴在OP间做自由落体运动，根据速度位移公式求出P点的速度．抓住粒子的偏转方向得出粒子的电性，通过粒子受到的重力和电场力平衡，知粒子靠洛伦兹力提供向心力，根据半径公式求出圆周运动的半径，从而确定出粒子需经过6个四分之一圆弧从而到达Q点，求出粒子在磁场中做圆周运动的周期，从而得出交变电场的周期．
（2）根据几何关系，结合半径的大小求出Q、O两点的水平距离

解答 解：（1）油滴自由下落，进入两板间电、磁场时的初速为$v=\sqrt{2gh}$…①
解得：v=$\sqrt{2×10×5×{{10}^{-2}}}m/s=1m/s$
油滴进入电、磁场后，受力情况如图所示，
重力 mg=10^-4×10N=10^-3N…②
电场力 ${F_电}=qE=2×{10^{-5}}×50N={10^{-3}}N=mg$…③
带电油滴进入两极板间，受电场力与重力平衡，在磁场力的作用下，它做匀速圆周运动．设圆周半径为R，若恰好垂直落在N板上的Q点，则${F_磁}=qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$…④
${T_B}=\frac{2πR}{v}$…⑤
解得  $R=\frac{mv}{qB}=\frac{{{{10}^{-4}}×1}}{{2×{{10}^{-5}}×100}}m=0.05（m）$
${T_B}=\frac{2πm}{qB}=\frac{{2π×{{10}^{-4}}}}{{2×{{10}^{-5}}×100}}=0.1π（s）$
又已知d=0.3m，如图所示，由几何关系得d=6R
所以交变磁场周期 $T=\frac{1}{2}{T_B}=0.05π（s）$
（2）设O、Q两点的水平距离为x，如图所示，由几何关系得x=6R=0.3m
答：（1）交变磁场的变化周期T为0.05πs．（2）Q、O两点的水平距离为0.3m．

点评 本题考查了粒子在复合场中的运动，知道粒子受到重力和电场力平衡，靠洛伦兹力提供向心力，结合半径公式和周期公式，运用数学几何关系进行求解，难度中等．