Question

6．如图所示，两个足够长且相互垂直的光滑绝缘斜面固定在水平面上，左侧斜面的倾角为θ．cd、bf为置于其上且质量不计的轻质柔软长金属导线，bc为与导线连接、电阻不计且质量为M的导电硬杆．在左侧斜面的导线上放置一电阻不计、质量为m、长度为L的导体棒PQ、PQ与导线接触良好且与导线间动摩擦因素为μ．PQ下侧有两个绝缘立柱，固定与左侧斜面且斜面垂直于斜面以支撑PQ不致下滑．PQ、MN、bc相互平行，整个空间存在垂直于右侧斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B．t=0时，一平行于斜面向下的拉力F垂直作用在硬杆bc上，使bc连同两导线一起由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a．导体棒PQ始终处于静止状态．已知轻杆柔软长金属导线相距为L，导线单位长度的电阻为R₀，bc长为L，重力加速度为g，t=0时Pc、cb、bQ三段的总电阻为R，求：
（1）回路感应电流I随时间t变化的关系式；
（2）经过多少时间拉力F达到最大值？拉力F的最大值为多少？
（3）若某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导线克服摩擦力做功为W，则这一过程中拉力F所做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律与欧姆定律求得I的表达式．
（2）由牛二律可求得F的表达式，结合数学知识可求得F的最大值．
（3）由导体棒bc运动过程用动能定理可求得F所做的功，所产生的焦耳热等于安培力做功．

解答 解：（1）设导体棒bc经时间t后的速度为v，由法拉第电磁感应定律得
　　　　　　　　E=BLv=Blat                        ①
此时回路中的总电阻为：R_总=R+$2×\frac{1}{2}a{t^2}×{R_0}$　　　　　②
故回路感应电流I为：I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　　　　　　　③
（2）设t时刻柔软导线中张力为T，对导体棒bc分析
　　　　F+Mgcosθ-BIL-2T=Ma                       ④
设导体棒PQ所受的摩擦力为f，对左侧导线分析
　　　　　　　　2T=f
　　　　　　　f=μ（mgcosθ+BIL），⑤
由上述几式得$F=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　⑥
式中$\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}=\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{\frac{R}{t}+{R_0}at}}≤\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{2\sqrt{R{R_0}a}}}$，$\frac{R}{t}={R_0}at$时，即t=$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　　⑦
　　${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$　　　　　　⑧
（3）设此过程中导体棒bc运动距离为s，由动能定理得
　　　　　　　　　　　　W_合=W_F+Mgscosθ-W-Q=△E_k=Mas，⑨
左侧导线所受的摩擦力为 　　 F_f=μ（mgcosθ+F_安），
导线克服摩擦力做功为        W=μmgscosθ+μW_安=μmgscosθ+μQ，（10）
　　得                  W_F=$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$（11）
答：（1）回路感应电流I随时间t变化的关系式为I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　
（2）经过时间为$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　拉力F达到最大值，拉力F的最大值为${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$．
（3）这一过程中拉力F所做的功为$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$

点评 考查、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律，同时运用动能定理、牛顿第二定律并结合数学知识分析．过程较复杂．