题目内容

19．如图所示，在真空中半径r=3.0×10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×108C/kg，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若射入磁场的速度改为v0=3.0×105m/s，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径；
（2）首先做出轨迹图，利用几何关系判断出当弦长为多少时运动时间最长，从而可以计算出粒子在磁场中运行的最长时间；
（3）由确定的速度先求出粒子在磁场中的运动半径，利用几何关系判断出粒子射出磁场的区域，然后分析答题．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=5.0×10-2m．
（2）由于R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，
从图甲中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，粒子的最长运动时间：tm=$\frac{2α}{2π}$×T=$\frac{2α•m}{qB}$，
又sinα=$\frac{r}{R}$=$\frac{3}{5}$，解得：tm=6.5×10-8s．
（3）速度改为v0=3.0×105m/s时，粒子的轨道半径：R′=$\frac{mv0′}{qB}$=1.5×10-2m＜r，
粒子在磁场中可能出现的区域：如图中以Oa为直径的半圆及以a为圆心、Oa为半径的圆与磁场相交的部分，如图所示．
答：（1）粒子的轨迹半径为5.0×10-2m；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为6.5×10-8s；
（3）若射入磁场的速度改为v0=3.0×105 m/s，其他条件不变，该批粒子在磁场中可能出现的区域如图所示．

点评 解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
（1）圆心的确定：因洛伦兹力始终指向圆心，根据洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，画出粒子运动轨迹中的任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定，由求出t，t=$\frac{θ}{2π}$（θ为弧度）；应注意速度矢量转过的角度θ，就是圆半径转过的角度，以及弦切角与圆心角的关系

练习册系列答案
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10．如图所示，小球用细绳系住，细绳被竖直拉紧，小球与光滑斜面接触并处于静止状态，则小球受力情况是（　　）
A．重力、绳对球的拉力
B．重力、绳对球的拉力、斜面的弹力
C．重力、斜面对球的弹力
D．重力、绳对球的拉力、斜面对球的摩擦力
7．一环状物体套在光滑水平直杆上，环状物能沿杆自由滑动．用绳子一端连接在物体上，另一端绕过定滑轮，用大小恒定的力F拉着，使物体沿杆自左向右滑动，如图所示．物体在杆上通过a、b、c 三点时的动能分别为Ea、Eb、Ec，且ab=bc，滑轮质量和摩擦不计，则下列关系中正确的是（　　）
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14．下列说法正确的是（　　）
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C．电梯此时可能正以5m/s2的加速度大小加速下降，也可能是以5m/s2的加速度大小减速上升
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