Question

14．如图所示，在竖直平面内建立x轴沿水平方向的直角坐标系xOy，在第一象限内有竖直向上，场强为E的匀强电场和垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在第二象限内有与x轴正方向成45°角向上，场强为$\sqrt{2}$E的匀强电场，在第四象限有竖直向上，场强为2E的匀强电场，现从第二象限直线x=x₀上的某点将一点电荷量大小为q的粒子由静止释放，恰好能垂直y轴进入第一象限，随后从x轴上某点进入第四象限，在第四象限运动一段时间后又从x轴上同一点回到第一象限，重力加速度为g，试求：
（1）粒子的电性和质量
（2）粒子释放时的纵坐标y₀
（3）粒子从静止开始运动到刚好再次进入第一象限所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在第二象限时，受重力和电场力，做匀变速直线运动，合力水平向右，根据牛顿第二定律并结合正交分解法列式求解；
（2）粒子的在第二象限做匀变速直线运动，根据运动学公式列式求解末速度；在第第一象限做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律并结合几何关系列式；
（3）粒子在第4象限是匀变速直线运动，求解出各个过程的时间后求和即可．

解答 解：（1）粒子在第二象限时，受重力和电场力，做匀变速直线运动，合力水平向右，故：
$\sqrt{2}$qE•sin45°=mg
$\sqrt{2}$qE•cos45°=ma
解得：
m=$\frac{qE}{g}$
a=g
粒子带正电荷；
（2）粒子的在第二象限做匀变速直线运动，故：
v₂=2ax₀
解得：
v=$\sqrt{2g{x}_{0}}$
在第一象限，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，故：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\frac{qE}{g}\sqrt{2g{x}_{0}}}{qB}$=$\frac{E}{B}\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$
粒子垂直进入第四象限，故在第一象限的轨迹为四分之一圆弧；
故y₀=R=$\frac{E}{B}\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$
（3）粒子在第二象限的运动时间：
t₁=$\frac{v}{g}$=$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$
粒子在第一象限的运动时间：
t₂=$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πE}{2Bq}$
在第4象限，加速度：
a′=$\frac{2qE-mg}{m}$=g
故在第4象限的运动时间：
t₃=$\frac{2v}{g}$=2$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$
故从开始释放到再次到第一象限的时间：
t=t₁+t₂+t₃=3$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$+$\frac{πE}{2Bq}$
答：（1）粒子的电性为正，质量为$\frac{qE}{g}$；
（2）粒子释放时的纵坐标为$\frac{E}{B}\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$；
（3）粒子从静止开始运动到刚好再次进入第一象限所用的时间为3$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{g}}$+$\frac{πE}{2Bq}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况、运动情况，然后结合牛顿第二定律、匀变速直线运动的规律、向心力公式和几何关系列式求解，不难．