Question

4．如图所示，在竖直面内有一直角坐标系xoy，在水平面MN下方有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的方向水平向里，电场方向平行xoy平面，但具体方向未知．在y轴上的A点由静止下落一带正电尘埃，尘埃下落h=5m后进入电磁场区域，进入后做匀速直线运动．已知：尘埃带正电，质量为2×10^-8kg；电荷量为q=2×10^-7C；磁感应强度B=0.1$\sqrt{3}$T．（g=10m/s²，阻力不计）
（1）求电场强度的大小
（2）当尘埃运动到坐标原点o时撤去磁场，经1.0秒尘埃运动到B点，求尘埃在B点的速度大小
（3）求OB两点间的电势差U_OB及B点的坐标．

Answer 1

分析 （1）尘埃先自由下落，由运动学公式求解尘埃刚进入电磁场区域的速度．尘埃进入电磁场区域后做匀速直线运动，受力平衡，由平衡条件求解电场强度的大小．
（2）撤去磁场，尘埃做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解尘埃在B点的速度大小．
（3）根据公式U=Ed求解电势差U_OB，结合上题的结果，由运动的分解法求解B点的坐标．

解答 解：（1）设尘埃进入电磁场的速度为v，则得 v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
尘埃进入电磁场区域后做匀速直线运动，受力平衡，则重力、洛伦兹力的合力与电场力大小相等，方向相反，由左手定则知，洛伦兹力向右，则得：
  qE=$\sqrt{（mg）^{2}+（qvB）^{2}}$
则 E=$\frac{1}{q}$$\sqrt{（mg）^{2}+（qvB）^{2}}$=$\frac{1}{2×1{0}^{-7}}$×$\sqrt{（2×1{0}^{-8}×10）^{2}+（2×1{0}^{-7}×10×0.1\sqrt{3}）^{2}}$=2N/C
（2）设重力与电场力的合力为F，则 F=qvB=2×10^-7×10×0.1$\sqrt{3}$N=2$\sqrt{3}$×10^-7N
撤去磁场后，由于F与初速度垂直，且F是恒力，所以尘埃做类平抛运动，加速度为 a=$\frac{F}{m}$=10$\sqrt{3}$m/s²．
经过1s时间到达B点，则尘埃在B点的速度大小为 v_B=$\sqrt{{v}^{2}+（at）^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（10\sqrt{3}×1）^{2}}$=20m/s
（3）尘埃竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，则从O到B的竖直高度为 h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×（\sqrt{3}）^{2}$m=15m
从O到B，由动能定理得：mgh+qU_OB=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：U_OB=5V
B点的横坐标为x=-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=-$\frac{1}{2}×10\sqrt{3}×{1}^{2}$=-5$\sqrt{3}$m
纵坐标为 x=-h=-15m
故B点的坐标为（-15m，-5$\sqrt{3}$m）．
答：
（1）电场强度的大小为2N/C．
（2）尘埃在B点的速度大小为20m/s．
（3）OB两点间的电势差U_OB为5V．B点的坐标为（-15m，-5$\sqrt{3}$m）．

点评 正确分析尘埃的受力情况，判断其运动情况是解题关键，要抓住类平抛运动与平抛运动研究方法的相似性，由力学的基本规律处理此类问题．