Question

9．太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但天文学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间￡发生一次最大的偏离．形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星日绕太阳运行的圆轨道半径为（　　）

• A． R$\frac{t}{t-T}$
• B． R$\root{3}{\frac{tT}{（t-T）^{2}}}$
• C． R$\root{3}{（\frac{t-T}{t}）^{2}}$
• D． R$\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{3}}$

Answer 1

分析 先根据多转动一圈时间为t，求出未知行星B的周期；然后再根据开普勒第三定律解得未知行星B的轨道半径．

解答 解：由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T′，则有：
（$\frac{2π}{T}-\frac{2π}{T′}$）t=2π
解得：T′=$\frac{tT}{t-T}$
根据开普勒第三定律，有：
$\frac{R{′}^{3}}{T{′}^{2}}=\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$
解得：
R′=R$\root{3}{{（\frac{t}{t-T}）}^{3}}$
故选：D

点评 本题关键是明确物理情境并建立匀速圆周运动的物理模型，明确发生最大偏离的原因是由于两个行星相距最近而导致万有引力最大；然后根据相对运动知识和牛顿第二定律列式求解，不难．