Question

如图所示，ABDO是固定在竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15 m的四分之一圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央．AB和BDO相切于B点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力大小等于其重力大小的倍．取g=10m/．

（1）求高度H；

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的最高点O；

（3）求小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小．

Answer 1

（1）10m     (2)能够通过最高点      （3）10m/s

解析:

  （1）小球从H高处落下，进入轨道，沿BOD轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力． （设小球在D点时的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力等于（大小等于小球对轨道的压力）它做圆周运动的向心力，即

           ………．．①（2分）

       小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有

          ………．．②（2分）

       由①②式可解得高度    ………．．（2分）

（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为，有

           ………．．③（1分）

       设小球至少应从高处落下，

          ………．．④（1分）

       由③④可得

       由，小球可以通过最高点．   ………．．（2分）

（3）小球由H高落下通过O点的速度为   ………（2分）

       小球通过O点后做平抛运动，设小球经过时间t落到AB圆弧轨道上，建立坐标系

                                          ………．．⑤（1分）

                                        ………．．⑥（1分）

       又由几何关系                  ………．．⑦（1分）

       由⑤⑥⑦可解得时间（另解舍去）

       小球落到轨道上的速度的大小为（2分）