Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面的光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，由A点进入竖直平面内的轨道，当小球通过最高点O时，小球与轨道间作用力为重力的5/3倍．取g=10m/s²．求：
（1）计算小球下落的高度H是多少？
（2）经轨道运动后，再次落到轨道上的速度的大小．

Answer 1

分析：（1）设小球通过O点的速度为v₀．在O点由重力和轨道的压力的合力提供向心力，根据向心力公式列出方程，求出v₀．小球从P点落下到运动到O点的全过程中，只有重力做功，机械能守恒，可解得H的高度；
（2）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据平抛运动的规律和几何关系结合即可求解．

解答：解：（1）过O点时圆周运动的半径为R=7.5m．
小球P从H高下落并运动到O点的全过程中，机械能守恒，有 mgH=

1

2

m

v

2 0

在O点，根据牛顿第二定律得：N+mg=

m v 2 0

R

又由题意有，N=

5

3

mg
则得 

5

3

mg+mg=

m v 2 0

R

联立解得：H=

4

3

R=10m
（2）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB轨道上，位移 R′=15m
 x=v₀t
 y=

1

2

gt2
且 x²+y²=R′²
由三式解得：t=1s
小球落到轨道上的速度 v=

v 2 0 +g2t2

=17.3m/s
答：（1）小球下落的高度H是10m．
（2）经轨道运动后，再次落到轨道上的速度的大小为17.3m/s．

点评：整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．