题目内容

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道．一个小球P（可看成质点）从A点的正上方距水平半径OA高H=10m处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过AB段．（取g=10m/s2．）
（1）试讨论小球P能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．若能，求出小球通过O点时对轨道的压力．
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？
分析：（1）由牛顿第二定律求出小球到达O点的最小速度．假设小球能到达O点，此过程中只有重力对小球做功，其机械能守恒，求出小球到O点的速度．比较两个速度，确定小球能否到达O点．若小球能到达O点，由牛顿运动定律求出小球通过O点时对轨道的压力．
（2）小球通过O点后作平抛运动，运用运动的分解法研究水平位移与竖直位移与时间的关系，再由数学知识求出两个位移的关系，求出时间，再求解小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小．
解答：解：（1）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc，
有：mg=m
v
2
C
R
2

得：vC=
gR
2
=8.66m/s．
从H高处落下，由mgH =
1
2
m
v
2
0
可求出通过O点的速度为：v0=
2gH
=10
2
m/s=14.1m/s
因为v0＞vc，所以小球能过O点   
设小球过O点轨道对小球的作用力为F，由牛顿第二定律得：
   F+mg=m
v
2
0
R
2

解得：F=30N
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的作用力F'=F=30N，方向竖直向上．
（2）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，
水平方向上有：x=v0t
竖直方向有：y=
1
2
gt2
由数学关系可得：x2+y2=R2
可解得时间t=1s  （另解舍弃）
落到轨道上速度的大小：v=
v
2
0
+g2t2
=17.32m/s
答：
（1）小球P能到达BDO轨道的O点，小球通过O点时对轨道的压力为30N，方向竖直向上．
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是17.32m/s．
点评：本题第（1）问是常规题，是机械能守恒与向心力的综合应用，第（2）问难点是几何知识的运用．
练习册系列答案
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如图所示，ABDO是处于竖直平面的光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，由A点进入竖直平面内的轨道，当小球通过最高点O时，小球与轨道间作用力为重力的5/3倍．取g=10m/s2．求：
（1）计算小球下落的高度H是多少？
（2）经轨道运动后，再次落到轨道上的速度的大小．
（2006?东城区一模）如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨 道通过D点时对轨道的压力等于其重力的
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倍．取g=10m/s2．
（1）H的大小？
（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．
（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？
如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是半径为 r=7.5m的光滑的半圆形圆管轨道（圆管内径可忽略）．一个小球P（小球直径比圆管内径略小）从A点的正上方距水平半径OA高H=10m处自由下落，g取10m/s2，空气阻力不计．求：
（1）达到BDO轨道的O点的速度大小．
（2）小球沿轨道运动后再次落到AB轨道上的速度大小．

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍。取g=10m/s2。

（1）H的大小？

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由。

（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

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