Question

12．图中A、B之间为一峡谷，相距d=10.0m，C为固定在悬崖上的一根横梁，一箩筐D通过两根轻绳挂在横梁上，当箩筐静止时，它正好处在峡谷AB的正中央，且和峡谷两边的平地差不多在同一水平面上．已知筐的质量M=200kg，每根绳的长度都是l=50.0m，筐的大小和d相比可忽略不计．现有一人位于峡谷的一边A处，他想到达峡谷的对岸B处，在他身边有很多质量差不多都是m=2.00kg的石块，于是他便不断把石块抛入箩筐，使箩筐动起来，当筐摆到A处时，他就跨入筐中，当筐摆到B处时，再跨出筐到达B处．如果此人每次只向筐中扔一个石块，当石块击中筐时，筐恰好都位于峡谷的正中央，石块击中筐后随即落在筐内并和筐一起运动，石块击筐的时刻，其速度的大小v₀=4.0m/s，方向都是水平的，试求：
（1）此人需向箩筐中扔的石块数．
（2）从扔出第一个石块起到此人到达B处所经过的时间．

Answer 1

分析 （1）石块扔入箩筐的过程，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律列式，得到当第n个石块进入筐时筐的速度v_n的表达式．若箩筐具有速度v_n后，恰好能摆到峡谷的A处，此时，筐上升的高度为h，由几何关系求出h，再由能量关系求石块数n．
（2）由运动学公式求从抛出第一个石块到石块进入箩筐经历的时间t₁．箩筐摆动经历一个周期T，第二个石块进入筐，经历2个周期即2T，第三个石块进入筐，…，从第一个石块进入筐至第n个石块进入筐共经历时间为t₂=（n-1）T，自第n个石块进入筐到筐摆到A处，人跨入筐所经历的时间为t₃=$\frac{3}{4}$T，从人跨入筐到筐摆到B处经历时间为t₄=$\frac{1}{4}$T，再求总时间t．

解答 解：（1）设第一个石块扔入箩筐后，筐开始运动的速度为v₁，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：
mv₀=（M+m）v₁ …①
解得：v₁=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$…②
当第二个石块刚要进箩筐时，箩筐恰好刚回到峡谷中央，速度的大小为v₁，方向与石块速度v₀的方向相同，设石块进入筐后，筐的速度为v₂，由动量守恒定律有
  mv₀+（M+m）v₁=（M+2m）v₂ …③
由②③两式，得 v₂=$\frac{2m{v}_{0}}{M+2m}$…④
当第n个石块进入筐时，筐的速度为 v_n=$\frac{nm{v}_{0}}{M+nm}$…⑤
若箩筐具有速度V_n后，恰好能摆到峡谷的A处，此时，筐上升的高度为h，则由能量关系得：
$\frac{1}{2}（M+nm）{v}_{n}^{2}$=（M+nm）gh…⑥
而：h=l-$\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}{d}^{2}}$…⑦
解⑤、⑥、⑦式得：n=$\frac{M\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}{d}^{2}}）}}{m[{v}_{0}-\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}{d}^{2}}）}]}$…⑧
代入数据，得：n=128…⑨即需向箩筐中扔进128个石块．
（2）从抛出第一个石块到石块进入箩筐经历的时间为：t₁=$\frac{\frac{1}{2}d}{{v}_{0}}$…⑩
箩筐摆动经历一个周期T，第二个石块进入筐，经历2个周期即2T，第三个石块进入筐，…，从第一个石块进入筐至第n个石块进入筐共经历时间为：
  t₂=（n-1）T…（11）
自第n个石块进入筐到筐摆到A处，人跨入筐所经历的时间 t₃=$\frac{3}{4}$T…（12）
从人跨入筐到筐摆到B处经历时间为：t₄=$\frac{1}{4}$T…（13）
由此得自扔出第一个石块到此人到达B处总共需时间为：
t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{d}{2{v}_{0}}$+（n+$\frac{1}{4}$）T…（14）
注意到筐摆动的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$…（15）
代入数据得：t=1798.7s≈29.9min
答：（1）此人需向箩筐中扔的石块数是128．
（2）从扔出第一个石块起到此人到达B处所经过的时间是29.9min．

点评 本题是周期性问题，分析清楚石块和筐的速度，采用归纳法得到速度的表达式是解题的关键．要抓住单摆的周期性，不能漏解．