Question

15．如图所示，水平固定的闭合导轨分别由平行的直轨和同心半圆形导轨构成，两轨间距离均为d，同心圆的内圆半径均为d．两轨间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，内外两条轨道间用导线和电阻为R的电阻连接，其他电阻可忽略．一根导体棒在两轨道上滑动，棒在平行直轨道上垂直导轨做匀速直线运动，速度大小为v；棒在圆弧导轨上匀速转动，棒与外圆轨道接触点的线速度大小为v，运动中棒的延长线始终过圆心O₁或O₂．求：
（1）当棒在圆弧导轨上运动时，电阻R两端的电压U；
（2）棒在平直导轨上移动距离为L的过程中，电阻R产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据线速度与角速度的关系，结合法拉第电磁感应定律，及磁通量的面积变化，即可求解；
（2）根据切割感应电动势，及欧姆定律与焦耳定律表达式，即可求解．

解答 解：
（1）根据题意，棒在圆弧轨上滑行角速度为
ω=$\frac{v}{2d}$                             ①
根据法拉第电磁感应定律
${E}_{1}=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$        ②
由几何知识可知
△S=$\frac{ω△t}{2π}（（2d）^{2}-{d}^{2}）$           ③
联立①②③，得R两端的电压
U₁=E₁=$\frac{3Bdv}{4}$              ④
（2）根据法拉第电磁感应定律，棒在直轨上滑行产生的感应电动势
E₂=Bdv                                     ⑤
通过电阻的电流
${I}_{2}=\frac{{U}_{2}}{R}=\frac{{E}_{2}}{R}$                    ⑥
又  $△t=\frac{L}{v}$                                  ⑦
根据焦耳定律：Q=${I}_{2}^{2}R△t$                         ⑧
联立⑤⑥⑦⑧，得Q=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$                    
答：（1）当棒在圆弧导轨上运动时，电阻R两端的电压$\frac{3Bdv}{4}$；
（2）棒在平直导轨上移动距离为L的过程中，电阻R产生的焦耳热$\frac{{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律与欧姆定律，及焦耳定律的内容，理解磁通量面积变化的求解方法，注意本题符号较多，在运算过程中，容易出错．