Question

10．如图，一端带有$\frac{1}{4}$圆弧的滑板静止在光滑水平地面上，滑板质量M=4kg，其中AB段表面粗糙，BC段圆弧表面光滑，圆弧半径足够大．可视为质点的小滑块P₁和P₂的质量均为m=1.0kg，与AB面间的动摩擦因数分别为μ₁=0.2和μ₂=0.4．开始时滑块P₁和P₂静止排列在滑板左端，其间有一小间隙．在滑板左端正上方的固定点O处，用长l=0.8m的轻绳悬挂一质量也为m=1.0kg的小球P，静止时绳处于竖直位置，小球与滑块相切且位于同一水平面上．现将小球P拉至图中水平虚线位置静止释放，摆至最低点后与P₁碰撞，随即P₁与P₂发生碰撞，各次碰撞均为弹性正碰，且时间极短．假设滑块与滑板间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取g=10m/s²．求：
（1）小球P摆至最低点时细绳的拉力大小；
（2）P₂在滑板AB段上向右运动时P₁受到摩擦力大小；
（3）AB的长度至少为多少才能保证P₂与P₁不能发生第二次碰撞．

Answer 1

分析 （1）小球P由静止释放至最低点的过程中机械能守恒，由此求出小球P摆至最低点时的速度，由牛顿第二定律求细绳的拉力大小；
（2）P与P₁及P₁与P₂发生弹性碰撞，三个物体质量相等，所以碰撞后交换速度．假设P₁与滑板相对静止一起加速，由牛顿第二定律求出两者的加速度，并求出P₁所受的摩擦力，与最大静摩擦力比较，再确定P₂在滑板AB段上向右运动时P₁受到摩擦力大小；
（3）假设P₁与P₂恰能发生第二次碰撞，P₁与P₂及AB的速度相同，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解AB的最小长度．

解答 解：（1）设小球P摆至最低点时速度为v，绳的拉力为T，
由机械能守恒定律有 mgl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 v=4m/s
由牛顿第二定律得 T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，解得：T=30N；
（2）因为P与P₁及P₁与P₂的碰撞均为质量相等的弹性正碰，碰后将发生速度交换，
所以碰后P₂获得速度v=4m/s
假设P₁与滑板相对静止一起加速，则加速度 a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m+M}$
可得 a=0.8m/s²．
此时P₁所受静摩擦力 f=ma=0.8N
又因为P₁与滑板之间的最大静摩擦力 f_m=μ₁mg=0.2××1×10N=2N
因为 f＜f_m，所以假设成立，
即P₁受到的摩擦力 f=0.8N；
（3）假设P₁与P₂恰能发生第二次碰撞，此时滑板长最小为L，
取向右为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律得：
  mv=（2m+M）v′
  μ₂mg•2L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（2m+M）v{′}^{2}$
联立解得：L=$\frac{5}{6}$m．
答：
（1）小球P摆至最低点时细绳的拉力大小是30N；
（2）P₂在滑板AB段上向右运动时P₁受到摩擦力大小是0.8N；
（3）AB的长度至少为$\frac{5}{6}$m才能保证P₂与P₁不能发生第二次碰撞．

点评 本题要求学生能正确分析过程，并能灵活应用功能关系；合理地选择研究对象及过程．