Question

10．如图所示，有一台水平转盘，盘上有一质量为m 的物体离转轴的距离为r，中间用一根细线相连，物体和转盘之间的动摩擦因数为μ，细线所能承受的最大拉力为3μmg，当圆盘静止时，细线伸直但没有拉力，求：
（1）当圆盘角速度θ₁=$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$时，细线拉力F₁为多大？
（2）当圆盘角速度${θ}_{2}=\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$时，细线拉力F₂为多大？
（3）圆盘转动的角速度多大时，细线被拉断？

Answer 1

分析 （1）（2）当向心力大于最大静摩擦力时，才会拉紧绳子，先求解只由静摩擦力提供向心力时的临界角速度，判断绳子是否有张力；
（3）绳子的最大拉力和最大静摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解最大角速度

解答 解：（1）当物体只由静摩擦力提供向心力时，最大的向心力为μmg，此时
μmg≥mω²r
解得：ω≤$\sqrt{\frac{μg}{r}}$
当角速度${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{2r}}$时，由于ω₁＜$\sqrt{\frac{μg}{r}}$，所以细绳拉力T₁=0．
（2）当角速度ω₂=$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$时，${T}_{2}+μmg={mω}_{2}^{2}r$
所以：${T}_{2}={mω}_{2}^{2}r-μmg$
（3）当拉力达到最大时，转盘有最大角速度ω_max
${T}_{3}+μmg={mω}_{m}^{2}r$
即：3μmg+μmg=m${mω}_{m}^{2}r$
解得：ω_m=$\sqrt{\frac{4μg}{r}}$=2$\sqrt{\frac{μg}{r}}$
答：（1）当角速度为ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$时，细绳的拉力是0；
（2）当角速度ω₂=$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$时，细绳的拉力是0.5μmg；
（3）转盘转动的最大角速度是$2\sqrt{\frac{μg}{r}}$

点评 本题关键是找到向心力来源，注意当最大静摩擦力不足提供向心力时，绳子才被拉长，发生微小形变，产生弹力