Question

1．如图所示，倾斜角θ=30°的光滑倾斜导体轨道（足够长）与光滑水平导体轨道连接．轨道宽度均为L=1m，电阻忽略不计．匀强磁场I仅分布在水平轨道平面所在区域，方向水平向右，大小B₁=1T；匀强磁场II仅分布在倾斜轨道平面所在区域，方向垂直于倾斜轨道平面向下，大小B₂=1T．现将两质量均为m=0.2kg，电阻均为R=0.5Ω的相同导体棒ab和cd，垂直于轨道分别置于水平轨道上和倾斜轨道上，并同时由静止释放．取g=10m/s²．
（1）求导体棒cd沿斜轨道下滑的最大速度的大小；
（2）若已知从开始运动到cd棒达到最大速度的过程中，ab棒产生的焦耳热Q=0.45J，求该过程中通过cd棒横截面的电荷量；
（3）若已知cd棒开始运动时距水平轨道高度h=10m，cd棒由静止释放后，为使cd棒中无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化，将cd棒开始运动的时刻记为t=0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀=1T，试求cd棒在倾斜轨道上下滑的这段时间内，磁场Ⅱ的磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析 由左、右手定则知道，当cd棒下滑时产生由d向c的电流，而ab棒受到竖直向下的安培力，这样ab棒始终静止在水平轨道上．
（1）下滑过程中当cd受到的合力为零时，速度达到最大，结合E=BLv，欧姆定律、安培力公式代入平衡条件就能求出最大速度．
（2）由能量守恒定律可以求出减少的机械能，从而减少的重力势能求出，下滑的距离x也求出，磁通量的变化量求出，用平均值方法求出电荷量．
（3）由于cd中无感应电流，则不受安培力，所以cd以gsinθ的加速度下滑，从而下滑的距离表达式可以写出来，由于△∅=0，所以先表示出初始状态的磁通量，再表示出经过t后的磁通量，两者相等，就能写出B随时间t的关系式．

解答 解：（1）cd棒匀速运动时速度最大，设为v_m，棒中感应电动分为E，电流为I，则
      E=BLv_m，$I=\frac{E}{2R}$
   由平衡条件得：mgsinθ=BIL 
   代入数据解得：v_m=1m/s
（2）设cd从开始运动到达最大速度的过程中，经过的时间为t，通过的距离为x，cd棒中平均感应电动势E₁，
  平均电流为I₁，通过cd棒横截面的电荷量为q，由能守恒定律得：
      $mgxsinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q$，
    代入得到x=1m，
   所以通过cd棒的电荷量：
     $q={I}_{1}t=\frac{{E}_{1}}{2R}t=\frac{\frac{{B}_{2}Lx}{t}}{2R}t=\frac{{B}_{2}Lx}{2R}=\frac{1×1×1}{2×0.5}$=1C
（3）设cd棒开始运动时穿过回路的磁通量为∅₀，cd棒在倾斜轨道上下滑的过程中，设加速大小为a，
 经过时间t通过的距离为x₁，穿过回路的磁通量为Φ，cd棒在倾斜轨道上下滑时间为t₀，则：
∅₀=${B}_{0}L\frac{h}{sinθ}$  
   加速度：a=gxinθ  
   位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   
  而 Φ=$BL（\frac{h}{sinθ}-{x}_{1}）$   
  当cd棒下滑到最低点时有：
    $\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$  
  解得：${t}_{0}=\sqrt{8}s$
为使cd棒中无感应电流，必须有：∅₀=Φ  
解得$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）
答：（1）导体棒cd沿斜轨道下滑的最大速度的大小为1m/s．
（2）若已知从开始运动到cd棒达到最大速度的过程中，ab棒产生的焦耳热Q=0.45J，该过程中通过cd棒横截面的电荷量为1C．
（3）若已知cd棒开始运动时距水平轨道高度h=10m，cd棒由静止释放后，为使cd棒中无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化，将cd棒开始运动的时刻记为t=0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀=1T，cd棒在倾斜轨道上下滑的这段时间内，磁场Ⅱ的磁感应强度B随时间t变化的关系式为$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）．

点评 本题要注意的是：①看起来是双杆问题，但由于ab受到向下的安培力，则ab始终静止，实际是单杆问题．②cd下滑又要求无感应电流，则任意时间t回路的磁通量相等，分别表示出初、末状态的磁通量，则B随时间t的关系式就能求出．