Question

15．如图所示，光滑水平直导轨上有三个质量均为m的物块A、B、C，物块B、C静止，物块B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）；让物块A以速度v₀朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短．那么从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，求．
（1）A、B第一次速度相同时的速度大小；
（2）A、B第二次速度相同时的速度大小；
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能大小．

Answer 1

分析 （1）A、B接触的过程中，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出A、B第一次速度相同时的速度大小．
（2）B与C粘接过程，B、C组成的系统动量守恒，求出粘接后瞬间B、C的共同速度，之后，对于三个物体组成的系统动量守恒．根据动量守恒定律，求出三者共同的速度．
（3）当三个物体的速度相同时，弹簧压缩到最短，根据能量守恒求出弹簧被压缩到最短时的弹性势能．

解答 解：（1）对A、B接触的过程中，当第一次速度相同时，取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2mv₁，
解得：v₁=$\frac{1}{2}$v₀
（2）设A、B第二次速度相同时的速度大小v₂，对ABC系统，取向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv₀=3mv₂
解得：v₂=$\frac{1}{3}$v₀
（3）B与C接触的瞬间，B、C组成的系统动量守恒，有：m•$\frac{1}{2}$v₀=2mv₃
解得，BC粘接后瞬间共同速度为：v₃=$\frac{1}{4}$v₀
当A、B、C速度相同时，弹簧的弹性势能最大．此时有：v₂=$\frac{1}{3}$v₀
根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为：E_pm=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}×2m×（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•2mv₃²-$\frac{1}{2}$•3mv₂²．
联立解得：E_pm=$\frac{13}{48}$mv₀²．
答：
（1）A、B第一次速度相同时的速度大小是$\frac{1}{2}$v₀；
（2）A、B第二次速度相同时的速度大小是$\frac{1}{3}$v₀；
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能大小是$\frac{13}{48}$mv₀²．

点评 本题综合考查了动量守恒定律和能量守恒定律，关键合理地选择研究的系统，分过程运用动量守恒进行求解．